Bài 16 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Đơn giản các biểu thức: \[{{{{\left[ {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right]}^{\sqrt 3 + 1}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}}\]; \[{a^{\sqrt 2 }}.{\left[ {{1 \over a}} \right]^{\sqrt 2 - 1}}\]
Giải
\[{{{{\left[ {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right]}^{\sqrt 3 + 1}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}} = {{{a^{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}}} \over {{a^{\sqrt 5 - 3 + 4 - \sqrt 5 }}}} = {{{a^2}} \over {{a^1}}} = a\]
\[{a^{\sqrt 2 }}.{\left[ {{1 \over a}} \right]^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left[ {{a^{ - 1}}} \right]^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 - \sqrt 2 }} \]
\[= {a^{\sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 }} = a\]
Bài 17 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được [cả vốn lẫn lãi] sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? [Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai].
Giải
Áp dụng công thức lãi kép: \[C = A{\left[ {1 + r} \right]^N}\]
Sau 5 năm người gửi thư thu được một số tiền [cả vốn lẫn lãi] là
\[15{\left[ {0,756} \right]^5} \approx 21,59\] [triệu đồng]
Bài 18 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữi tỉ:
a] \[\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } \,\,\,\,\left[ {x > 0} \right];\]
b] \[\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } \,\,\,\,\left[ {a > 0,b > 0} \right];\]
c] \[\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } ;\]
d] \[\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}}\,\,\,\,\left[ {a > 0} \right].\]
Giải
a] \[\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } = {\left[ {{x^2}.{x^{{1 \over 3}}}} \right]^{{1 \over 4}}} = {\left[ {{x^{{7 \over 3}}}} \right]^{{1 \over 4}}} = {x^{{7 \over {12}}}}\]
b] \[\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } = {\left[ {{b \over a}{{\left[ {{a \over b}} \right]}^{{1 \over 3}}}} \right]^{{1 \over 5}}} = {\left[ {{{\left[ {{a \over b}} \right]}^{ - 1}}{{\left[ {{a \over b}} \right]}^{{1 \over 3}}}} \right]^{{1 \over 5}}}\]
\[= {\left[ {{{\left[ {{a \over b}} \right]}^{ - {2 \over 3}}}} \right]^{{1 \over 5}}} = {\left[ {{a \over b}} \right]^{ - {2 \over {15}}}}\]
c] \[\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } } = {\left[ {{2 \over 3}{{\left[ {{2 \over 3}} \right]}^{{1 \over 3}}}{{\left[ {{2 \over 3}} \right]}^{{1 \over 6}}}} \right]^{{1 \over 3}}}\]
\[= {\left[ {{{\left[ {{2 \over 3}} \right]}^{1 + {1 \over 3} + {1 \over 6}}}} \right]^{{1 \over 3}}} = {\left[ {{{\left[ {{2 \over 3}} \right]}^{{3 \over 2}}}} \right]^{{1 \over 3}}} = {\left[ {{2 \over 3}} \right]^{{1 \over 2}}}\]
d] \[\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}} = \left[ {{a^{{1 \over 2}}}.{a^{{1 \over 4}}}.{a^{{1 \over 8}}}.{a^{{1 \over {16}}}}} \right]:{a^{{{11} \over {16}}}} \]
\[= {a^{{{15} \over {16}}}}:{a^{{{11} \over {16}}}} = {a^{{1 \over 4}}}\]
Bài 19 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Đơn giản biểu thức
a] \[{a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left[ {{1 \over {{a^{ - \sqrt 2 - 1}}}}} \right]^{\sqrt 2 + 1}}\];
b] \[{\left[ {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right]^{\sqrt 3 + 1}}{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}};\]
c] \[{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}}} + 1;\]
d] \[\sqrt {{{\left[ {{x^\pi } + {y^\pi }} \right]}^2} - {{\left[ {{4^{{1 \over \pi }}}xy} \right]}^\pi }} ;\]
Giải
a] \[{a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left[ {{1 \over {{a^{ - \sqrt 2 - 1}}}}} \right]^{\sqrt 2 + 1}} = {a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left[ {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right]^{\sqrt 2 + 1}} \]
\[= {a^{ - 2\sqrt 2 }}{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^3}\]
b] \[{\left[ {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right]^{\sqrt 3 + 1}}{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} = {{{a^{3 + \sqrt 3 }}} \over {{b^2}}}.{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} = {a^2}\]
c] \[{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}}} + 1 = {{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }} + {{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}} \over {{{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}}}\]
\[ = {{2{a^{2\sqrt 2 }} - 2{a^{\sqrt 2 }}{b^{\sqrt 3 }}} \over {{{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}}} = {{2{a^{\sqrt 2 }}\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]} \over {{{\left[ {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right]}^2}}} = {{2{a^{\sqrt 2 }}} \over {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\]
d] \[\sqrt {{{\left[ {{x^\pi } + {y^\pi }} \right]}^2} - {{\left[ {{4^{{1 \over \pi }}}xy} \right]}^\pi }} = \sqrt {{x^{2\pi }} + {y^{2\pi }} - 2{x^\pi }{y^\pi }} \]
\[= \sqrt {{{\left[ {{x^\pi } - {y^\pi }} \right]}^2}} = \left| {{x^\pi } - {y^\pi }} \right|\].