Bài 16 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các phương trình sau [m và k là tham số],
a] [m - 1]x2+ 7x - 12 = 0;
b] mx2- 2[m + 3]x + m + 1 = 0;
c] [[k + 1]x - 1][x - 1] = 0;
d] [mx - 2][2mx - x + 1] = 0.
Giải
a] [m - 1]x2+ 7x - 12 = 0
- Với m = 1, phương trình trở thành: \[7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\]
- Với m -1, ta có: Δ = 72 + 48[m 1] = 48m + 1
+ \[ Δ < 0 m < - {1 \over {48}}\] phương trình vô nghiệm
+ \[\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {1 \over {48}}\] thì phương trình có hai nghiệm:\[x = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2[m - 1]}}\]
b] mx2- 2[m + 3]x + m + 1 = 0
+ Với m = 0, phương trình trở thành:\[ - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\]
+ Với m 0. Ta có: Δ = [m + 3]2 m[m + 1] = 5m + 9
\[\Delta < 0 \Leftrightarrow m < - {9 \over 5}\]phương trình vô nghiệm
\[\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {9 \over 5}\], phương trình có hai nghiệm: \[x = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]
c] Ta có:
\[{\rm{[[k + 1]x}}\,\, - 1{\rm{]}}[x\, - 1] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
[k + 1]x = 1\,\,\,\,\,\,[1] \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu k = -1 thì [1] vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
+ Nếu k 1 thì [1] có nghiệm \[x = {1 \over {k + 1}}\]
Ta có: \[{1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0\].
Do đó:
i] k = 0; S = {1}
ii] k 0 và k -1: \[S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\]
iii] k = -1: S = {1}
d] Ta có:
\[[mx - 2][2mx - x + 1] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr
[2m - 1]x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu m = 0 thì x = 1
+ Nếu m = \[{1 \over 2}\]thì x = 4
+ Nếu m 0 và m \[{1 \over 2}\]thì phương trình có hai nghiệm là: \[x = {2 \over m};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {1 - 2m}}\]
Bài 17 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao
Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x2- 2x + 3 và y = x2- m theo tham số m.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:
\[{x^2}-m = - {x^2}-2x + 3 \]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x-m-3 = 0\] [1]
\[Δ = 1 + 2[m + 3] = 2m + 7\]
+ \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > - {7 \over 2}\]: [1] có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm.
+ \[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = - {7 \over 2}\]: [1] có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung
+ \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow x < - {7 \over 2}\]: [1] vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung.
Bài 18 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để phương trình x2- 4x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1và x2thỏa mãn hệ thức x13+ x23= 40.
Giải
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Δ = 4 [m 1] = 5 m 0 m 5
Khi đó: x1 + x2 = 4; x1x2 = m 1
Ta có:
x13 + x23 = 40 [x1 +x2][x12 + x22 x1x2] = 40
[x1 + x2][[x1 + x2]2 3x1x2] = 40
4[16 3[m 1]] = 40
12m = 36 m = 3 [nhận]