Bài 18 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho ba điểm \[A[3;0],B[ - 5;4]\]và \[P[10;2]\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.
Giải
Đường thẳng \[\Delta \]đi qua P có dạng:
\[\eqalign{
& a\left[ {x - 10} \right] + b\left[ {y - 2} \right] = 0\,\,\left[ {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right] \cr
& \Delta :ax + by - 10a - 2b = 0\,\,\,\,\left[ * \right] \cr} \]
Ta có: \[d\left[ {A,\Delta } \right] = d\left[ {B,\Delta } \right]\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{|3a + 0.b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =\cr&\;\;\;\;\; {{| - 5a + 4b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow |7a + 2b| = |15a - 2b| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7a + 2b = 15a - 2b \hfill \cr
7a + 2b = - 15a + 2b \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8a - 4b = 0 \hfill \cr
22a = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
b = 2a \hfill \cr
a = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 ta có:
\[\Delta :x + 2y - 14 = 0\]
+] Với a = 0 , chọn b = 1 ta có:
\[\Delta :y - 2 = 0.\]
Bài 19 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho điểm M[2, 3] . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M.
Giải
Giả sử \[A\left[ {a;0} \right];B\left[ {0;b} \right]\]
Ta có: \[\overrightarrow {MA} \left[ {a - 2; - 3} \right];\overrightarrow {MB} \left[ { - 2;b - 3} \right].\]
\[\Delta ABM\]vuông cân tại M
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2\left[ {a - 2} \right] - 3\left[ {b - 3} \right] = 0 \hfill \cr
{\left[ {a - 2} \right]^2} + 9 = 4 + {\left[ {b - 3} \right]^2} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 3b = 13\,\,\,\left[ 1 \right]\, \hfill \cr
{\left[ {a - 2} \right]^2} + 5 = {\left[ {b - 3} \right]^2}\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Từ [1] suy ra \[b = {{13 - 2a} \over 3}\]thay vào [2] ta được:
\[\eqalign{
& {\left[ {a - 2} \right]^2} + 5 = {\left[ {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left[ {4 - 2a} \right]}^2}} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.
Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho hai đường thẳng
\[\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \]
Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \]đi qua điểm P[3, 1] và cắt lần lượt ở A,B sao cho \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]tạo với \[{\Delta _1}\]và \[{\Delta _2}\] một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Giải
\[{\Delta _1}\]có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow {{n_1}} \left[ {1;2} \right].\]
\[{\Delta _2}\]có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow {{n_2}} \left[ {3; - 1} \right].\]
Giả sử \[\Delta \]qua P có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \left[ {a;b} \right];\,\Delta \]cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \[\Delta \]với \[{\Delta _1}\]và góc hợp bởi \[\Delta \]với \[{\Delta _2}\]bằng nhau.
Do đó:
\[\eqalign{
& {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left[ {a + 2b} \right]^2} = {\left[ {3a - b} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \]
Chọn \[b = 1\] ta có: \[{a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \]
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\[\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\left[ {x - 3} \right] + \left[ {y - 1} \right] = 0;\]
\[\left[ {1 - \sqrt 2 } \right]\left[ {x - 3} \right] + \left[ {y - 1} \right] = 0.\]