Bài 19 trang 199 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A[2;-1], phương trình một đường chéo là x - 7y + 15 = 0 và độ dài cạnhAB = \[3\sqrt 2 \].Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết${y_B}$ là số nguyên
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.42]
Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng x - 7y + 15 = 0 nên phương trình đường chéo BD là : x - 7y + 15 = 0,tọa độ điểm B là B[7t - 15;t].
Ta có :
\[AB = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left[ {7t - 17} \right]^2} + {\left[ {t + 1} \right]^2} = 18\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 50{t^2} - 236t + 272 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill \cr
t = {{68} \over {25}}\,\,\,[*] \hfill \cr} \right. \cr} \]
[ [*] loại]
Vậy B[-1 ; 2]
Ta có \[{\overrightarrow n _{AD}} = \overrightarrow {AB} = [ - 3;3] = - 3[1; - 1]\]
Phương trình đường thẳng AD là :
\[\eqalign{
& 1.[x - 2] - 1.[y + 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow x - y - 3 = 0. \cr} \]
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x - y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 6 \hfill \cr
y = 3. \hfill \cr} \right.\]
Vậy D[6 ; 3].
Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I.
Suy ra:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{{{x_C} + {x_A}} \over 2} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} = {5 \over 2} \hfill \cr
{{{y_C} + {y_A}} \over 2} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} = {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_C} = 3 \hfill \cr
{y_C} = 6. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy C[3 ; 6].
Bài 20 trang 199 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:[C1] : \[{x^2} + {y^2} + 10x = 4\] và[C2] : \[{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\] có tâm lần lượt là I, J.
a] Viết phương trình đường tròn [C] đi qua giao điểm của [C1] , [C2] và có tâm nằm trên đường thẳng d: x - 6y + 6 = 0.
b] Viết phương trình tiếp tuyến chung của [C1] và [C2]. Gọi \[{T_1},{T_2}\] lần lượt là tiếp điểm của [C1] , [C2] với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] qua trung điểm của \[{T_1},{T_2}\] và vuông góc với IJ.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.43]
a] [C1] có tâm I[-5 ; 0], bán kính \[{R_1} = 5\].[C2] có tâm I[2 ; 1], bán kính \[{R_2} = 5\]
Tọa độ của giao điểm A, B của [C1] và [C2] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14x + 2y + 20 = 0 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Ta được A[-1 ; -3], B[-2 ; 4].
Gọi K là tâm của [C] ta có \[KA = KB = R \Rightarrow K \in IJ.\]
Phương trình IJ là : x - 7y + 5 = 0.
Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x - 7y + 5 = 0 \hfill \cr
x - 6y + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 12 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy K[-12 ; -1]. Ta có \[{R^2} = K{A^2} = 125.\]
Vậy phương trình của đường tròn [C] là : \[{\left[ {x + 12} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 125.\]
b] \[{R_1} = {R_2} = 5\]
=>tiếp tuyến chung \[l\] của [C1] và [C2] song song với IJ. Phương trình \[l\]có dạng :
x - 7y + c = 0.
Ta có: \[d[I,l] = {R_1}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| { - 5 + c} \right|} \over {\sqrt {1 + 49} }} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 25\sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow c = 5 \pm 25\sqrt 2 . \cr} \]
Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của [C1] và [C2] là :
\[x - 7y + 5 \pm 25\sqrt 2 = 0.\]
Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của \[{T_1}{T_2}\] và vuông góc với IJ.
Phương trình của AB là :7x + y + 10 = 0.
Bài 21 trang 199 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip [E] biết [E] có tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - 2;0} \right]\] và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \[12\sqrt 5 \]
Viết phương trình đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ và [C] cắt [E] tại bốn điểm tạo thành hình vuông.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.44]
Phương trình elip có dạng: \[[E]:{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\]
Ta có tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - 2;0} \right]\].Suy ra c = 2.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ABCD là 4ab. Suy ra \[4ab = 12\sqrt 5 \]
Ta có : \[{a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4.\]
Giải hệ phương trình :
\[\left\{ \matrix{
ab = 3\sqrt 5 \hfill \cr
{a^2} = {b^2} + 4 \hfill \cr} \right.\]
Ta được:
\[\left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = \sqrt 5 . \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình elip là : \[{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 5} = 1.\]
Đường tròn [C] tâm O, bán kính R cắt elip tại bốn điểm M, N, P, Q.
Ta có MNPQ là hình vuông suy ra phương trình đường thẳng OM là : y = x.
Thay y = xvào phương trình elip ta được:
\[{R^2} = O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = {{45} \over 7}.\]
Vậy phương trình đường tròn [C] là : \[{x^2} + {y^2} = {{45} \over 7}\]
Bài 22 trang 199 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có \[{x_A} = 2\], điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.45]
Đặt A[2 ; a]; K[0 ; k]; C[0 ; c]; I[1 ; 0] là tọa độ các điểm đã cho ta có:
\[{{a + c} \over 2} = 0 \Rightarrow c = - a.\]
\[AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.\] Ta có: \[\overrightarrow {AK} = [ - 2;k - 1],\,\overrightarrow {IK} = [ - 1;k]\]
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o \hfill \cr
\left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right| \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 + k[k - a] = 0 \hfill \cr
{\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k - a = - {k \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1] \hfill \cr
4 + {[k - a]^2} = 4[1 + {k^2}]\,\,\,\,[2] \hfill \cr} \right.\]
Thay [1] vào [2] ta được:
\[\eqalign{
& 4 + {4 \over {{k^2}}} = 4\left[ {1 + {k^2}} \right] \cr
& \Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4} \cr
& \Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1\,\,[k < 0]. \cr} \]
Suy ra a = -3.
Vậy A[2 ; -3], C[0 ; 3] và K[0 ; -1].
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 2 = 2.[0 - 2] \hfill \cr
{y_D} + 3 = 2.[ - 1 + 3] \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = 1. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy D[-2 ; 1]
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_B} + 2 = 2.[1 + 2] \hfill \cr
{y_B} - 1 = 2.[0 - 1] \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_B} = 4 \hfill \cr
{y_B} = - 1. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy B[4 ; -1].