Bài 19 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Hãy viết điều kiện của mỗi phương trình
a] \[\sqrt { - 3x + 2} = {2 \over {x + 1}}\]
b] \[\sqrt {x - 2} + x = 3{x^2} + 1 - \sqrt { - x - 4} \]
c] \[{{3x + 5} \over {\sqrt {3{x^2} + 6x + 11} }} = \sqrt {2x + 1} \]
d] \[{{\sqrt { - 3x + 2} } \over {{x^2} - 9}} = x + 2\]
Gợi ý làm bài
Điều kiện của mỗi phương trình:
a] \[x \le {2 \over 3}\] và \[x \ne - 1\]
b] \[x \ge 2\] và \[x \le - 4\]. Không có số thực x nào thỏa mãn điều kiện của phương trình.
c] \[3{x^2} + 6x + 11 > 0\] và \[x \ge - {1 \over 2}\]. Vì ta có\[3{x^2} + 6x + 11 = 3{[x + 1]^2} + 8 > 0\] với mọi x, nên điều kiện của phương trình là \[x \ge - {1 \over 2}\]
d] \[x \ge - 4\] và \[x \ne 3,x \ne - 3\]
Bài 20 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương
a] \[3x - 1 = 0\] và\[{{3mx + 1} \over {x - 2}} + 2m - 1 = 0\]
b]\[{x^2} + 3x - 4 = 0\] và\[m{x^2} - 4x - m + 4 = 0\]
Gợi ý làm bài
Hai phương trình tương đương khichúng có cùng tập nghiệm.
a] \[3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\]
Suy ra \[x = {1 \over 3}\] là nghiệm của phương trình \[{{3mx + 1} \over {x - 2}} + 2m - 1 = 0\]
\[ \Rightarrow {{3m.{1 \over 3} + 1} \over {{1 \over 3} - 2}} + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = {8 \over 7}\]
b]
\[x_{}^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra x = 1 và x = -4 là nghiệm của phương trình \[mx_{}^2 - 4x - m + 4 = 0\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
m.1_{}^2 - 4.1 - m + 4 = 0 \hfill \cr
m.[ - 4]_{}^2 - 4.[ - 4] - m + 4 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\forall m \hfill \cr
m = - {4 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = - {4 \over 3} \cr} \]
Bài 21 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a]\[2m[x - 2] + 4 = [3 - {m^2}]x\]
b]\[{{[m + 3]x} \over {2x - 1}} = 3m + 2\]
c]\[{{8mx} \over {x + 3}} = [4m + 1]x + 1\]
d]\[{{[2 - m]x} \over {x - 2}} = [m - 1]x - 1\]
Gợi ý làm bài
a] Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\[[m - 1][m + 3]x = 4[m - 1]\]
Với\[m \ne 1\] và\[m \ne - 3\] phương trình có nghiệm\[x = {4 \over {m + 3}}\];
Với m = 1 mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = -3 phương trình vô nghiệm.
b] Điều kiện của phương trình là\[m \ne {1 \over 2}\]. Khi đó ta có
\[{{[m + 3]x} \over {2x - 1}} = 3m + 2 \Leftrightarrow [m + 2]x = [3m + 2][2x - 1]\]
\[ \Leftrightarrow [5m + 1]x = 3m + 2\]
Nếu$\[m \ne - {1 \over 5}\] thì phương trình có nghiệm\[x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\]
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\[{{3m + 2} \over {5m + 1}} \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1 \Leftrightarrow m \ne - 3\]
Nếu \[m = - {1 \over 5}\] phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận.
Với\[m = - {1 \over 5}\] hoặc\[m = - 3\] phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \[m \ne - {1 \over 5}\] và\[m \ne - 3\] nghiệm của phương trình đã cho là\[x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\]
c] Điều kiện của phương trình là\[x \ne - 3\]. Khi đó ta có
\[{{8mx} \over {x + 3}} = [4m + 1]x + 1 \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}[4m + 1]x + 1][x + 3]\]
\[ \Leftrightarrow [4m + 1]{x^2} + 4[m + 1]x + 3 = 0.[1]\] [1]
Với\[m = - {1 \over 4}\] phương trình [1] trở thành
\[3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]
Với \[m \ne - {1 \over 4}\] phương trình [1] là một phương trình bậc hai có
\[\Delta ' = {[2m - 1]^2} \ge 0\]
Lúc đó phương trình [1] có hai nghiệm
\[{x_1} = - {3 \over {4m + 1}},{x_2} = - 1\]
Ta có \[ - {3 \over {4m + 1}} \ne - 3 \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\]
Kết luận
Với m = 0 hoặc \[m = - {1 \over 4}\] phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.
Với \[m \ne 0\] và \[m \ne - {1 \over 4}\] phương trình đã cho có hai nghiệm
x = -1 và\[x = - {3 \over {4m + 1}}\]
d]Điều kiện của phương trình là\[x \ne 2\]. Khi đó ta có
\[{{[2 - m]x} \over {x - 2}} = [m - 1]x - 1 \Leftrightarrow [2 - m]x = [x - 2]{\rm{[}}[m - 1]x - 1]\]
\[ \Leftrightarrow [m - 1]{x^2} - [m + 1]x + 2 = 0[2]\]
Với m = 1 phương trình [2] có dạng
\[ - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Với\[m \ne 1\] thì phương trình [2] là một phương trình bậc hai có:
\[\Delta = {[m - 3]^2} \ge 0\]
Lúc đó phương trình [2] có hai nghiệm
\[{x_1} = 1,{x_2} = {2 \over {m - 1}}\]
Ta có: \[{2 \over {m - 1}} \ne 2 \Leftrightarrow m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\]
Kết luận:
Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.
Với\[m \ne 1\] và\[m \ne 2\] phương trình đã cho có hai nghiệm
x = 1 và \[x = {2 \over {m - 1}}\]
Bài 22 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho phương trình
\[3{x^2} + 2[3m - 1]x + 3{m^2} - m + 1 = 0\]
a] Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?
b] Giải phương trình khi m = -1.
Gợi ý làm bài
a] Phương trình vô nghiệm khi\[\Delta ' < 0\]
Xét\[\Delta ' = {[3m - 1]^2} - 3[3{m^2} - m + 1] = - 3m - 2\]
\[\Delta ' < 0 \Leftrightarrow - 3m - 2 < 0\]
\[ \Leftrightarrow m > - {2 \over 3}\]
b] Khi m = -1 phương trình đã cho trở thành\[3{x^2} - 8x + 5 = 0\] và có hai nghiệm\[{x_1} = 1;{x_2} = {5 \over 3}\]