Bài 2.1 trang 66 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a] Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng [IJM] và [ACD].
b] Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JNcắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [MNJ]và [ABC]
Giải:
[h.2.20]
a] Nhận xét:
Do giả thiết cho IJ không song song với CDvà chúng cùng nằm trong mặt phẳng [BCD] nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
Gọi \[K = IJ \cap CD\].
Ta có : M là điểm chung thứ nhất của [ACD] và [IJM];
\[\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr
IJ \subset \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left[ {MIJ} \right]\] và \[\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left[ {AC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left[ {AC{\rm{D}}} \right]\]
Vậy \[\left[ {MIJ} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = MK\]
b] Với \[L = JN \cap AB\]ta có:
\[\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr
JN \subset \left[ {MNJ} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left[ {MNJ} \right]\]
\[\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr
AB \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left[ {ABC} \right]\]
Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng [MNJ] và [ABC]
Gọi \[P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr
PM \subset \left[ {MNP} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left[ {MNJ} \right]\]
Và \[\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left[ {ABC} \right]\]
Nên Q là điểm chung thứ hai của [MNJ] và [ABC]
Vậy \[LQ = \left[ {ABC} \right] \cap \left[ {MNJ} \right]\].
Bài 2.2 trang 66 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCDcó hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
a] [SBM]và [SCD];
b] [ABM] và [SCD];
c] [ABM]và [SAC].
Giải:
[h.2.21]
a] Ta có ngay S, Mlà hai điểm chung của [SBM] và [SCD] nên \[\left[ {SBM} \right] \cap \left[ {SC{\rm{D}}} \right] = SM\].
b] M là điểm chung thứ nhất của [AMB] và [SCD]
Gọi \[I = AB \cap C{\rm{D}}\]
Ta có: \[I \in AB \Rightarrow I \in \left[ {ABM} \right]\]
Mặt khác \[I \in C{\rm{D}} \Rightarrow I \in \left[ {SC{\rm{D}}} \right]\]
Nên \[\left[ {AMB} \right] \cap \left[ {SC{\rm{D}}} \right] = IM\].
c] Gọi \[J = IM \cap SC\].
Tacó: \[J \in SC \Rightarrow J \in \left[ {SAC} \right]\] và \[J \in IM \Rightarrow J \in \left[ {ABM} \right]\].
Hiển nhiên \[A \in \left[ {SAC} \right]\]và \[A \in \left[ {ABM} \right]\]
Vậy \[\left[ {SAC} \right] \cap \left[ {ABM} \right] = AJ\]
Bài 2.3 trang 66 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, Klần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCDvà ACD. Gọi Llà giao điểm của JKvới mặt phẳng [ABC]
a] Hãy xác định điểm L.
b] Tìm giao tuyến của mặt phẳng [IJK] với các mặt của tứ diện ABCD.
Giải:
[h.2.22]
a] Gọi \[N = DK \cap AC;M = DJ \cap BC\].
Ta có \[\left[ {DJK} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = MN \Rightarrow MN \subset \left[ {ABC} \right]\].
Vì \[L = \left[ {ABC} \right] \cap JK\]nên dễ thấy \[L = JK \cap MN\].
b] Ta có Ilà một điểm chung của [ABC] và [IJK].
Mặt khác vì \[L = MN \cap JK\]mà \[MN \subset \left[ {ABC} \right]\]và \[JK \subset \left[ {IJK} \right]\] nên Llà điểm chung thứ hai của [ABC] và [IJK], suy ra \[\left[ {IJK} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = IL\].
Gọi \[E = IL \cap AC;F = EK \cap C{\rm{D}}\]. Lí luận tương tự ta có \[EF = \left[ {IJK} \right] \cap \left[ {ACD} \right]\].
Nối FJcắt BDtại P; Plà một giao điểm [IJK] và [BCD].
Ta có \[PF = \left[ {IJK} \right] \cap \left[ {BCD} \right]\]
Và \[IP = \left[ {AB{\rm{D}}} \right] \cap \left[ {IJK} \right]\]