Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
a] M cách đều điểm A[2 ; 3 ; 4] và mặt phẳng \[2x + 3y + z - 17 = 0\];
b] M cách đều hai mặt phẳng \[x + y - z + 1 = 0\] và \[x - y + z + 5 = 0\]
Giải
a] Giả sử \[M\left[ {0;0;c} \right]\] thuộc trục Oz.
Ta có \[MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left[ {4 - c} \right]}^2}} \] và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \[d = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\]
\[MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left[ {4 - c} \right]}^2}} = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {14} }}\]
\[\Leftrightarrow 13 + {\left[ {4 - c} \right]^2} = {{{{\left[ {c - 17} \right]}^2}} \over {14}} \Leftrightarrow c = 3.\]
Vậy \[M\left[ {0,0,3} \right]\].
b] \[M\left[ {0;0;c} \right]\] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[{{\left| { - c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = - 2 \Rightarrow M\left[ {0;0; - 2} \right]\]
Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \[\alpha ,\beta ,\gamma \]lần lượt là góc giữa mặt phẳng [ABC] và các mặt phẳng [OBC], [OCA], [OAB]. Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :
a] Tam giác ABC có ba góc nhọn.
b] \[{\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\]
Giải
a] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có \[A\left[ {a;0;0} \right]\,,\,B\left[ {0;b;0} \right]\,,\,C\left[ {0;0;c} \right]\]
\[\left[ {a > 0,b > 0,c > 0} \right]\]
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - a;b;0} \right];\overrightarrow {AC} = \left[ { - a;0;c} \right] \]
\[\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\]
\[ \Rightarrow \] A là góc nhọn.
Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.
b] Mp[ABC] có phương trình \[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right]\].
Mp[OBC] \[\equiv \]Mp[Oyz] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow i = \left[ {1;0;0} \right]\].
Gọi \[\alpha \] là góc giữa mp[ABC] và mp[OBC] thì:
\[{\cos ^2}\alpha = {\left[ {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right]^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\]
Tương tự \[{\cos ^2}\beta = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\] và \[{\cos ^2}\gamma = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\]
Từ đó suy ra \[{\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\]
Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \[4x + 3y - 12z + 1 = 0\]và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\]
Giải
Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 16\].
Mặt cầu có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\] bán kính R = 4.
Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình \[4x + 3y - 12z + D = 0\] với \[D \ne 1\].
Mp[P] tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp[P] bằng bán kính R.
\[d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \]
\[\Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 26 + D = 12 \hfill \cr
- 26 + D = - 12 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
D = 78 \hfill \cr
D = - 26 \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \[4x + 3y - 12z + 78 = 0\,\,;\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0\]