Bài 2.13 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho hai vec tơ\[\overrightarrow a \] và\[\overrightarrow b \] đều khác\[\overrightarrow 0 \].Tích vô hướng\[\overrightarrow a .\overrightarrow b \] khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0?
Gợi ý làm bài
Tac có:
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ]\]
Do đó:
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b > 0\] khi\[\cos [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] > 0\] nghĩa là\[0 \le [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] \le {90^0}\]
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b < 0\] khi\[\cos [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] < 0\] nghĩa là\[{90^0} \le [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] \le {180^0}\]
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\] khi\[\cos [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] = 0\] nghĩa là \[[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] = {90^0}\]
Bài 2.14 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\[{[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \]
\[{[\overrightarrow a - \overrightarrow b ]^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \]
\[[\overrightarrow a + \overrightarrow b ][\overrightarrow a - \overrightarrow b ] = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\]
Gợi ý làm bài
\[\eqalign{
& {[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]^2} = [\overrightarrow a + \overrightarrow b ].[\overrightarrow a + \overrightarrow b ] \cr
& = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \cr} \]
\[= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \]
Các tính chất còn lại được chứng minh tương tự.
Bài 2.15 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:
a] \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]
b] \[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \]
c]\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \]
Gợi ý làm bài
[h2.20]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\]
\[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} = - {a^2}\]
Bài 2.16 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
a] Tính \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] rồi suy ra giá trị của góc A;
b] Tính\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \]
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ]^2}\]
\[{\overrightarrow { = AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \]
Do đó:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \over 2} \cr
& = {{{8^2} + {5^2} - {7^2}} \over 2} = 20 \cr} \]
Mặt khác:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cosA \cr
& = 5.8.cosA = 20 \cr} \]
Suy ra\[\cos A = {{20} \over {40}} = {1 \over 2} = > \widehat A = {60^0}\]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& B{A^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} = {[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} ]^2} \cr
& = {\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \cr} \]
Do đó:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {1 \over 2}[{\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - {\overrightarrow {BA} ^2}] \cr
& = {1 \over 2}[{8^2} + {7^2} - {5^2}] = 44 \cr} \]