Bài 2.22 trang 79 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Chứng minh rằng .
Giải:
Gọi I, J và Klần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CDvà BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
\[{{A{G_1}} \over {AI}} = {{A{G_2}} \over {AJ}} = {{A{G_3}} \over {AK}} = {2 \over 3}\]
\[\Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel IJ\]
\[IJ \subset \left[ {BCD} \right] \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left[ {BCD} \right]\]
Tương tự ta có \[{G_2}{G_3}\parallel \left[ {BC{\rm{D}}} \right]\]
\[{G_1}{G_2},{G_2}{G_3} \subset \left[ {{G_1}{G_2}{G_3}} \right]\]
\[\left[ {{G_1}{G_2}{G_3}} \right]\parallel \left[ {BC{\rm{D}}} \right]\].
Bài 2.23 trang 79 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCDvẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Czvà Dtsao cho chúng cắt mặt phẳng [ABCD]. Một mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A, B, Cvà D.
a] Chứng minh rằng \[\left[ {Ax,By} \right]\parallel \left[ {Cz,Dt} \right]\]và \[\left[ {Ax,Dt} \right]\parallel \left[ {By,Cz} \right]\]
b] Tứ giác ABCDlà hình gì?
c] Chứng minh \[AA' + CC' = BB' + DD'\].
Giải:
a] Ta có :
\[\left\{ \matrix{
Ax\parallel Dt \hfill \cr
Dt \subset \left[ {Cz,Dt} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow Ax\parallel \left[ {Cz,Dt} \right]\]
\[\left. \matrix{
AB\parallel CD \hfill \cr
CD \subset \left[ {Cz,Dt} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left[ {Cz,Dt} \right]\]
Từ \[Ax,AB \subset \left[ {Ax,By} \right]\]suy ra \[\left[ {Ax,By} \right]\parallel \left[ {Cz,Dt} \right]\]
Tương tự ta có \[\left[ {Ax,Dt} \right]\parallel \left[ {By,Cz} \right]\]
b]
\[\left\{ \matrix{
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {Ax,By} \right] = A'B` \hfill \cr
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {Cz,Dt} \right] = C'D' \Rightarrow A'B'\parallel C'D'\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr
\left[ {Ax,By} \right]\parallel \left[ {Cz,Dt} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {Ax,Dt} \right] = A'D` \hfill \cr
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {By,Cz} \right] = B'C' \Rightarrow A'D'\parallel B'C'\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr
\left[ {Ax,Dt} \right]\parallel \left[ {By,Cz} \right] \hfill \cr} \right.\]
Từ [1]và [2] suy ra tứ giác ABCDlà hình bình hành.
c] Gọi O, Olần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, ABCD. Dễ thấy OOlà đường trung bình của hình thang AA, suy ra \[OO' = {{AA' + CC'} \over 2}\]
Tương tự ta có:
\[OO' = {{BB' + DD'} \over 2} \Rightarrow AA' + CC' = BB' + DD'\].
Bài 2.24 trang 80 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hai hình vuông ABCDvà ABEFở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo ACvà BFlần lượt lấy các điểm M và Nsao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và Nlần lượt cắt AD và AFtại M và N. Chứng minh
a] \[\left[ {A{\rm{D}}F} \right]\parallel \left[ {BCE} \right]\].
b] \[M'N'\parallel DF\].
c] \[\left[ {DEF} \right]\parallel \left[ {MM'N'N} \right]\]và \[MN\parallel \left[ {DEF} \right]\].
Giải:
a]
\[\left\{ \matrix{
AD\parallel BC \hfill \cr
BC \subset \left[ {BCE} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow AD\parallel \left[ {BCE} \right]\]
\[\left\{ \matrix{
AF\parallel BE \hfill \cr
BE \subset \left[ {BCE} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow AF\parallel \left[ {BCE} \right]\]
Mà \[AD,AF \subset \left[ {ADF} \right]\]
Nên \[\left[ {ADF} \right]\parallel \left[ {BCE} \right]\]
b] Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Ta có:
\[MM'\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow {{AM'} \over {A{\rm{D}}}} = {{AM} \over {AC}}\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[NN'\parallel AB \Rightarrow {{AN'} \over {AF}} = {{BN} \over {BF}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
So sánh [1]và [2]ta được \[{{AM'} \over {A{\rm{D}}}} = {{AN'} \over {AF}} \Rightarrow M'N'\parallel DF\]
c] Từ chứng minh trên suy ra \[DF\parallel \left[ {MM'N'N} \right]\]
\[\left. \matrix{
NN'\parallel AB \Rightarrow NN'\parallel EF \hfill \cr
NN' \subset \left[ {MM'N'N} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left[ {MM'N'N} \right]\]
Mà \[DF,EF \subset \left[ {DEF} \right]\]nên \[\left[ {DEF} \right]\parallel \left[ {MM'N'N} \right]\]
Vì \[MN \subset \left[ {MM'N'N} \right]\]và \[\left[ {MM'N'N} \right]\parallel \left[ {DEF} \right]\]nên \[MN\parallel \left[ {DEF} \right]\].
Bài 2.25 trang 80 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABCABCcó các cạnh bên là AA, BB, CC. Gọi Ivà Itương ứng là trung điểm của hai cạnh BCvà BC.
a] Chứng minh rằng \[AI\parallel A'I'\].
b] Tìm giao điểm của IAvới mặt phẳng [ABC].
c] Tìm giao tuyến của [ABC]và [ABC].
Giải:
a] Ta có \[II'\parallel BB'\]và II = BB
Mặt khác \[AA'\parallel BB'\]và AA = BBnên :
\[AA'\parallel II'\]và AA = II
AAIIlà hình bình hành.
\[ \Rightarrow AI\parallel A'I'\]
b] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
A \in \left[ {AB'C'} \right] \hfill \cr
A \in \left[ {AA'I'I} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow A \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {AA'I'I} \right]\]
Tương tự :
\[\left\{ \matrix{
I' \in B'C` \hfill \cr
I' \in \left[ {AA'I'I} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow I' \in \left[ {AB'C'} \right]\]
\[I' \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {AA'I'I} \right] \Rightarrow \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {AA'I'I} \right] = AI'\]
Đặt \[AI' \cap A'I = E\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{E \in IA` \hfill \cr E \in AI` \hfill \cr} \right. \Rightarrow E \in \left[ {AB'C'} \right]\]
Vậy Elà giao điểm của AIvà mặt phẳng [ABC]
c] Ta có:
\[A'B \cap AB' = M \Rightarrow \left\{ \matrix{
M \in \left[ {AB'C'} \right] \hfill \cr
M \in \left[ {A'BC} \right] \hfill \cr} \right.\]
Tương tự:
\[AC' \cap A'C = N \Rightarrow \left\{ \matrix{
N \in \left[ {AB'C'} \right] \hfill \cr
N \in \left[ {A'BC} \right] \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {A'BC} \right] = MN\].