Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng:\[d:{x \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 6} \over 3}\]và
\[d':\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 2 + t \hfill \cr
3 - t \hfill \cr} \right.\].
a] Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.
b] Tìm khoảng cách giữa d và d.
c] Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d.
d] Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d.
Giải
a] Đường thẳng đi qua M[0; 1; 6] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;2;3} \right]\]. Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {1; - 2;3} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ {1;1; - 1} \right]\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \left[ {1; - 3; - 3} \right]\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ { - 5;4; - 1} \right]\]
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 5.1 - 3.4 + 1.3 = - 14 \ne 0\].
Vậy hai đường thẳng d và d chéo nhau. Vì \[\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Rightarrow d \bot d'\].
b] Gọi h là khoảng cách giữa d và d, ta có:
\[h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{14} \over {\sqrt {25 + 16 + 1} }} = {{\sqrt {42} } \over 3}\].
c] d có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 + 2t \hfill \cr
z = 6 + 3t \hfill \cr} \right.\].
Lấy điểm N[t; 1 + 2t; 6 + 3t]\[\in d\]và \[N'\left[ {1 + t'; - 2 + t';3 - t'} \right] \in d'\].
NN là đường vuông góc chung của d và d khi và chỉ khi \[\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow {u'} \]. Ta có:
\[\overrightarrow {NN'} = \left[ {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right]\]
Vậy \[N\left[ { - 1; - 1;3} \right]\] và \[N'\left[ {{2 \over 3}; - {7 \over 3};{{10} \over 3}} \right]\].
\[\overrightarrow {NN'} = \left[ {{5 \over 3};{{ - 4} \over 3};{1 \over 3}} \right]\].
Phương trình đường vuông góc chung qua \[N\left[ { - 1; - 1;3} \right]\] và có vectơ chỉ phương nên có phương \[\overrightarrow v = 3\overrightarrow {NN'} = \left[ {5; - 4;1} \right]\] trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - 1 + 5t \hfill \cr
y = - 1 - 4t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\]
d] Giả sử đường thẳng \[\Delta \] song song với Oz, cắt d và d lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có \[A\left[ {t;1 + 2t;6 + 3t} \right]\,,\,B\left[ {1 + t', - 2 + t',3 - t'} \right]\] và \[\overrightarrow {AB} = \left[ {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right].\]
Vì \[\overrightarrow {AB} \] cùng phương với \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\]nên
\[1 + t' - t = - 3 + t' - 2t = 0 \Rightarrow \left\{ \matrix{
t = - 4 \hfill \cr
t' = - 5 \hfill \cr} \right.\].
Vậy \[A\left[ { - 4; - 7; - 6} \right]\]và \[\overrightarrow {AB} = \left[ {0;0;14} \right]\].
Vậy phương trình của \[\Delta \]là
\[\left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = - 7 \hfill \cr
z = - 6 + t \hfill \cr} \right.\]
Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr
y = 2 + 2t \hfill \cr
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\] và \[d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\].
a] Chứng minh rằng d và d đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa chúng.
b] Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp[P] và ba mặt phẳng tọa độ.
c] Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.
Giải
a] Đường thẳng d đi qua \[M\left[ {7;2;1} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {3;2; - 2} \right]\]. Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {1; - 2;5} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ {2; - 3;4} \right]\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \left[ { - 6; - 4;4} \right]\]
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ {2; - 16; - 13} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \]
Vậy d và d đồng phẳng. \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {u'} \] không cùng phương nên d và d cắt nhau. Mp[P] chứa d và d đi qua \[M\left[ {7;2;1} \right]\]và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {2; - 16; - 13} \right]\] do đó [P] có phương trình là:
\[2\left[ {x - 7} \right] - 16\left[ {y - 2} \right] - 13\left[ {z - 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\]
b] Giao điểm của mp[P] với các trục tọa độ là: \[A\left[ {{{ - 31} \over 2};0;0} \right]\,\,;\,\,B\left[ {0;{{31} \over {16}};0} \right]\,\,;\,\,C\left[ {0;0;{{31} \over {13}}} \right]\]
Thể tích tứ diện OABC là \[C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} = {{{{31}^3}} \over {2496}}.\]
c] Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:
\[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\]
Vì
\[A,B,C \in \left[ S \right] \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\]
Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 6 + t \hfill \cr} \right.\] và
\[d':\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\]