Bài 2.30 trang 81 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho \[{{IA} \over {I{\rm{D}}}} = {{JB} \over {JC}}\]. Chứng minh rằng IJluôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải:
Qua Ikẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại H, ta có:
\[{{HA} \over {HC}} = {{IA} \over {I{\rm{D}}}}\]
Mặt khác \[{{IA} \over {I{\rm{D}}}} = {{JB} \over {JC}}\]
Nên \[{{HA} \over {HC}} = {{JB} \over {JC}}\]
Suy ra \[HJ\parallel AB\]
Như vậy mặt phẳng [IJH] song song với ABvà CD.
Gọi \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng qua ABvà song song với CD, ta có
\[\left\{ \matrix{
\left[ \alpha \right]\parallel \left[ {IJH} \right] \hfill \cr
IJ \subset \left[ {IJH} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ\parallel \left[ \alpha \right]\]
Vậy IJsong song với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]cố định.
Bài 2.31 trang 81 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, Nlần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng chứa Byvà song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt \[\left[ \alpha \right]\]tại M.
a] Tìm tập hợp điểm M.
b] Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN
Giải:
a] Gọi \[\left[ \beta \right]\]là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng AB và Ax
Do \[Ax\parallel \left[ \alpha \right]\]nên \[\left[ \beta \right]\]sẽ cắt \[\left[ \alpha \right]\]theo giao tuyến Bxsong song với Ax.
Ta có Mlà điểm chung của \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ \beta \right]\]nên Mthuộc Bx.
Khi Mtrùng Athì Mtrùng B nên tập hợp Mlà tia Bx.
Ta có tứ giác ABMM là hình bình hành nên BM = AM = BN.
Tam giác BMN cân tại B.
Suy ra trung điểm Icủa cạnh đáy NM thuộc phân giác trong Bt của góc Btrong tamgiác cân BNM.Dễ thấy rằng Btcố định.
Gọi Olà trung điểm của AB. Trong mặt phẳng [AB, Bt], tứ giác OBIJ là hình bình hành nên \[\overrightarrow {JI} = \overrightarrow {BO} \].Do đó I là ảnh của J trong phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {BO} \]. Vậy tập hợp Ilà tia Ot song songvới Bt.