Bài 2.33 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Gọi \[{m_a},{m_b},{m_c}\] là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
a] Tính \[{m_a}\],biết rằng a = 26, b = 18, c = 16
b] Chứng minh rằng: \[4[m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2] = 3[{a^2} + {b^2} + {c^2}]\]
Gợi ý làm bài
a]\[m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{{18}^2} + {{16}^2}} \over 2} - {{{{26}^2}} \over 4}\]
\[\eqalign{
& = {{324 + 256} \over 2} - {{676} \over 4} = {{484} \over 4} \cr
& = > {m_a} = {{22} \over 2} = 11 \cr} \]
b] \[\left\{ \matrix{
m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} \hfill \cr
m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} \hfill \cr
m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m_a^2 = 2[{b^2} + {c^2}] - {a^2} \hfill \cr
m_b^2 = 2[{a^2} + {c^2}] - {b^2} \hfill \cr
m_c^2 = 2[{a^2} + {b^2}] - {c^2} \hfill \cr} \right.\]
Ta suy ra:\[4[m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2] = 3[{a^2} + {b^2} + {c^2}]\]
Bài 2.34 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:
a] 2sinA = sinB + sinC
b] \[{2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\]
Gợi ý làm bài
a] Theo định lý sin ta có: \[{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\]
Ta suy ra: \[{a \over {\sin A}} = {{b + c} \over {\sin B + \sin C}} = {{2a} \over {\sin B + \sin C}}\]
\[ = > 2sinA = sinB + \sin C\]
b] Đối với tam giác ABC ta có:\[S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}{h_C}.c = {{abc} \over {4R}}\]
Ta suy ra\[{h_c} = {{ab} \over {2R}}\].Tương tự ta có\[{h_b} = {{ac} \over {2R}},{h_a} = {{bc} \over {2R}}\].
Do đó:
\[{1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = 2R\left[ {{1 \over {ac}} + {1 \over {ab}}} \right] = 2R{{b + c} \over {abc}}\] mà b + c = 2a
Nên \[{1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = {{2R.2a} \over {abc}} = {{2R.2} \over {bc}} = {2 \over {{h_a}}}\]
Vậy \[{2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\]
Bài 2.35 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
a]\[\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\]
b] \[{h_a} = 2R\sin B\sin C\]
Gợi ý làm bài
a] Theo định lý sin ta có:\[{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\]
Do đó:\[a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\]
Thay các giá trị này vào biểu thức:\[a = b\cos C + c\cos B\], ta có:
\[2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\]
\[ = > \sin A = \sin B\cos C + {\mathop{\rm sinCcosB}\nolimits} .\]
Bài 2.36 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Tam giác ABC có \[bc = {a^2}\].Chứng minh rằng :
a] \[{\sin ^2}A = \sin B.\sin C\]
b]\[{h_b}.{h_c} = h_a^2\]
Gợi ý làm bài
a] Theo giả thiết ta có:\[{a^2} = bc\]
Thay\[a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\] vào hệ thức trên ta có:
\[4{R^2}{\sin ^2}A = 2R\sin B.2R{\mathop{\rm sinC}\nolimits} \]
\[ = > {\sin ^2}A = \sin B.\sin C\]
b] Ta có\[2S = a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\]
Do đó: \[{a^2}h_a^2 = b.c.{h_b}.{h_c}\]
Theo giả thiết:\[{a^2} = bc\] nên ta suy ra\[h_a^2 = {h_b}.{h_c}\]