Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình tham số và chính tắc [nếu có] của các đường thẳng sau đây:
a] Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
b] Các đường thẳng đi qua điểm \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\][với \[{x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\]] và song song với mỗi trục tọa độ;
c] Đường thẳng đi qua \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ { - 1;3;5} \right]\];
d] Đường thẳng đi qua \[N\left[ { - 2;1;2} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {0;0; - 3} \right]\];
e] Đường thẳng đi qua \[N\left[ {3;2;1} \right]\] và vuông góc với mặt phẳng \[2x - 5y + 4 = 0\];
g] Đường thẳng đi qua \[P\left[ {2;3; - 1} \right]\] và \[Q\left[ {1;2;4} \right]\].
Giải
a] Trục Ox đi qua O[0; 0; 0] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i = \left[ {1;0;0} \right]\] nên có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Trục Oz có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\]
Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.
b] Đường thẳng đi qua \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i = \left[ {1;0;0} \right]\] nên có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {x_0} + t \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\]
Tương tự đường thẳng đi qua\[{M_0}\] với trục Oy có phương trình tham số là\[\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr
y = {y_0} + t \hfill \cr
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\]
Đường thẳng đi qua \[{M_0}\]với trục Oz có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\]
Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.
c] Đường thẳng đi qua \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\] có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \[\overrightarrow u = \left[ { - 1;3;5} \right]\]Tương tự đường thẳng đi qua \[{M_0}\] với trục Oy có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\] và có phương trình chính tắc \[{{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\].
d] Đường thẳng đi qua \[N\left[ { - 2;1;2} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {0;0; - 3} \right]\] có phương trình tham số
\[\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\]
Không có phương trình chính tắc.
e] Vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \] của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[2x - 5y + 4 = 0\] nên \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 5;0} \right]\].
Vậy đường thẳng có phương trình tham số
\[\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = 2 - 5t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\]
Không có phương trình chính tắc.
g] Đường thẳng đi qua \[P\left[ {2;3; - 1} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {PQ} = \left[ { - 1; - 1;5} \right]\]nên có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\]
và có phương trình chính tắc là \[{{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\]
Bài 25 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình tham số, chính tắc [nếu có] của các đường thẳng sau đây:
a] Đường thẳng đi qua điểm [4; 3; 1] và song song với đường thẳng có phương trình
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\]
b]Đường thẳng đi qua điểm [-2; 3; 1] và song song với đường thẳng có phương trình: \[{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 1} = {{z + 2} \over 3}\]
Giải
a] Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 3;2} \right]\]. Đường thẳng cần tìm đi qua A[4; 3; 1] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 3;2} \right]\] nên có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 3 - 3t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\]
và có phương trình chính tắc là \[{{x - 4} \over 2} = {{y - 3} \over { - 3}} = {{z - 1} \over 2}\].
b] Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2;1;3} \right]\]
Đường thẳng cần tìm có phương trình \[{{x + 2} \over 2} = {{y - 3} \over 1} = {{z - 1} \over 3}\] và
\[\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr
y = 3 + t \hfill \cr
z = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\]
Bài 26 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \[d:\,\,{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\]trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
Giải
Đường thẳng d có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\]
Mỗi điểm M[x; y; z] \[\in d\]có hình chiếu trên mp[Oxy] là điểm M[x; y; 0] , d là hình chiếu của d trên mp[Oxy]. Vậy d có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 +2 t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Tương tự phương trình hình chiếu của d trên mp[Oxz], mp[Oyz] lần lượt là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\] và
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\]
Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 8 + 4t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\]
và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + y + z - 7 = 0\].
a] Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b] Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P].
c] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp[P].
Giải
a] Một vectơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = \left[ {1;4;2} \right]\]. Cho t = 0 ta có một điểm \[{M_0}\left[ {0;8;3} \right]\] nằm trên d.
b] Vectơ pháp tuyến của mp[P] là \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {1;1;1} \right]\]. Gọi \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \[\overrightarrow u \] và \[{\overrightarrow n _P}\]nên ta lấy \[{\overrightarrow n _{\left[ \alpha \right]}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left[ {2;1; - 3} \right]\]. \[Mp\left[ \alpha \right]\] đi qua \[{M_0}\left[ {0;8;3} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[{\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {2;1; - 3} \right]\] nên có phương trình là: \[2\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y - 8} \right] - 3\left[ {z - 3} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\]
c] Vì d không vuông góc với [P] nên hình chiếu của d trên [P] là đường thẳng d, d là giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và [P]:
\[\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Cho z = 0 ta có x = 8; y = 15, d qua A[ 8; 15; 0].
d có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - 8 + 4t \hfill \cr
y = 15 + 5t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\]