Bài 2.47 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a] \[y = {[\frac{1}{2}]^x} + 3\]
b] \[y = {2^{x + 1}}\]
c] \[y = {3^{x - 2}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Đồ thị của hàm số \[y = {[\frac{1}{2}]^x} + 3\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {[\frac{1}{2}]^x}\]bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 3 đơn vị.
b] Đồ thị của hàm số \[y = {2^{x + 1}}\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {2^x}\]bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 1 đơn vị.
c] Đồ thị của hàm số \[y = {3^{x - 2}}\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {3^x}\]bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 2 đơn vị.
Bài 2.48 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a] \[y = {\log _3}[x - 1]\]
b] \[y = {\log _{\frac{1}{3}}}[x + 1]\]
c] \[y = 1 + {\log _3}x\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Đồ thị của hàm số \[y = {\log _3}[x - 1]$\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {\log _3}x\]bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 1 đơn vị.
b] Đồ thị của hàm số \[y = {\log _{\frac{1}{3}}}[x + 1]\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\]bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên trái 1 đơn vị.
c] Đồ thị của hàm số \[y = 1 + {\log _3}x\]nhận được từ đồ thị của hàm số \[y = {\log _3}x\]bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên trên 1 đơn vị.
Bài 2.49 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \frac{1}{{{{[2 + 3x]}^2}}}\]
b] \[y = \sqrt[3]{{{{[3x - 2]}^2}}}[x \ne \frac{2}{3}]\]
c] \[y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}\]
d] \[y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x\]
e] \[y = [3{x^2} - 2]{\log _2}x\]
g] \[y = \ln [\cos x]\]
h] \[y = {e^x}\sin x\]
i] \[y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[y' = - 6{[2 + 3x]^{ - 3}}\]
b]
\[y' = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{{[3x - 2]}^{ - \frac{1}{3}}},\forall x > \frac{2}{3}}\\
{ - 2{{[2 - 3x]}^{ - \frac{1}{3}}},\forall x < \frac{2}{3}}
\end{array}} \right. = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}[x \ne \frac{2}{3}]\]
c] \[y' = - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{[3x - 7]}^4}}}}}\]
d] \[y' = - 9{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}\]
e] \[y' = 6x{\log _2}x + \frac{{3{x^2} - 2}}{{x\ln 2}}\]
g] \[y' = - \tan x\]
h] \[y' = {e^x}[\sin x + \cos x]\]
i] \[y' = \frac{{x[{e^x} + {e^{ - x}}] - {e^x} + {e^{ - x}}}}{{{x^2}}}\].
Bài 2.50 trang 133 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{9^x} - {3^x} - 6 = 0\]
b] \[{e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0\]
c] \[{3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\]
d] \[{2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] x = 1
b] Đặt \[t = {e^x}[t > 0]\], ta có phương trình \[{t^2} - 3t - 4 + \frac{{12}}{t} = 0\] hay
\[\eqalign{
& {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0 \cr
& \Leftrightarrow [t - 2][t + 2][t - 3] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 2} \cr {t = - 2[loại]} \cr {t = 3} \cr} } \right. \cr} \]
Do đó
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^x} = 2}\\a
{{e^x} = 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \ln 2}\\
{x = \ln 3}
\end{array}} \right.\]
c]
\[\eqalign{
& {3.4^x} + {27.9^x} = {24.4^x} - {9 \over 2}{.9^x} \cr
& \Leftrightarrow {63.9^x} = {42.4^x} \Leftrightarrow {\left[ {{9 \over 4}} \right]^x} = {2 \over 3} \cr} \]
\[\Leftrightarrow {[{3 \over 2}]^{2x}} = {[{3 \over 2}]^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}\]
d]
\[\eqalign{
& {1 \over 2}{.2^{{x^2}}} - {3^{{x^2}}} = {1 \over 3}{.3^{{x^2}}} - {4.2^{{x^2}}} \cr
& \Leftrightarrow {9 \over 2}{.2^{{x^2}}} = {4 \over 3}{.3^{{x^2}}} \Leftrightarrow {\left[ {{2 \over 3}} \right]^{{x^2}}} = {\left[ {{2 \over 3}} \right]^3} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \sqrt 3 } \cr {x = - \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr}