Câu 27 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Xác định a, b, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:
a]\[5{x^2} - 6x - 1 = 0\]
b]\[- 3{x^2} + 14x - 8 = 0\]
c]\[- 7{x^2} + 4x = 3\]
d]\[9{x^2} + 6x + 1 = 0\]
Giải
a]\[5{x^2} - 6x - 1 = 0\]
Có hệ số a = 5; b = -3; c = -1
\[\eqalign{
& \Delta ' = b{'^2} - ac = {\left[ { - 3} \right]^2} - 5.\left[ { - 1} \right] = 9 + 5 = 14 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {14} \cr
& {x_1} = {{ - b' + \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 + \sqrt {14} } \over 5} \cr
& {x_2} = {{ - b' - \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 - \sqrt {14} } \over 5} \cr} \]
b]\[- 3{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 14x + 8 = 0\]
Có hệ số a = 3; b = -7; c = 8
\[\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - 7} \right]^2} - 3.8 = 49 - 23 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{7 + 5} \over 3} = 4 \cr
& {x_2} = {{7 - 5} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \]
c]\[- 7{x^2} + 4x = 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 4x + 3 = 0\]
Có hệ số a = 7; b = -2; c = 3
\[\Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 7.3 = 4 - 21 = - 17 < 0\]
Phương trình vô nghiệm
d]\[9{x^2} + 6x + 1 = 0\]
Có hệ số a = 9; b = 3; c = 1
\[\Delta ' = {3^2} - 9.1 = 9 - 9 = 0\]
Phương trình có nghiệm số kép:\[{x_1} = {x_2} = {{ - b} \over a} = {{ - 3} \over 9} = - {1 \over 3}\]
Câu 28 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:
a] \[{x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \]và\[2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x\]
b] \[\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\]và\[2\sqrt 3 x + 3\]
c] \[- 2\sqrt 2 x - 1\]và\[\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\]
d] \[{x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \]và\[2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \]
e] \[\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 \]và \[- {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\]?
Giải
a]
\[\eqalign{
& {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right]^2} - 1.\left[ {2 + 2\sqrt 2 } \right] \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \]
Vậy với \[x = 2 + \sqrt 2 \]hoặc \[x = \sqrt 2 \]thì hai biểu thức bằng nhau.
b]
\[\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left[ {2 - 2\sqrt 3 } \right]x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x - 4 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]^2} - \sqrt 3 \left[ { - 4} \right] \cr
& = 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]
Vậy với x = 2 hoặc \[x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\]thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c]
\[\eqalign{
& - 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left[ {2 + 2\sqrt 2 } \right]x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + 4 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]^2} - \sqrt 2 .4 \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \cr
& = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}^2}} = \sqrt 2 - 1 \cr
& {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = - 2 \cr} \]
Vậy với \[x = - \sqrt 2 \]hoặc \[x = - 2\]thì hai biểu thức bằng nhau.
d]
\[\eqalign{
& {x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {2 + 2\sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]^2} - 1.2\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \]
Vậy với \[x = 1 - \sqrt 3 \]hoặc \[x = - 3 - \sqrt 3 \]thì hai biểu thức bằng nhau.
e]
\[\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]{x^2} + \left[ {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right]x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]{x^2} + 2\left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]^2} - \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]\left[ { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right] \cr
& = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr
& = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = 1 + {\left[ {2\sqrt 3 } \right]^2} + {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = {\left[ {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right]^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right]}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{ - \left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right] + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr
& {x_2} = {{ - \left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right] - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr
& = 4 - \sqrt 3 - \sqrt 5 - \sqrt {15} \cr} \]
Câu 29 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Một vận động viên bơi lội nhảy cầu [xem hình 5]. Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước [tính bằng mét] phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu [tính bằng mét] bởi công thức:
\[h = - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4\]
Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu
a] Khi vận động viên ở độ cao 3m?
b] Khi vận động viên chạm mặt nước?
Giải
a] Khi h = 3m ta có:
\[\eqalign{
& 3 = - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x\left[ {x - 2} \right] = 0 \cr} \]
Suy ra: \[{x_1} = 0;{x_2} = 2.\]Vậy x = 0m hoặc x = 2m
b] Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h = 0
\[\eqalign{
& \Rightarrow - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 1} \right]^2} - 1.\left[ { - 3} \right] = 1 + 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{1 + 2} \over 1} = 3 \cr
& {x_2} = {{1 - 2} \over 1} = - 1 \cr} \]
Vì khoảng cách không âm. Vậy x = 3m