Câu 92 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình 13 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm C.
Giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành
AB // CD hay BM // CD
Xét tứ giác BMCD ta có:
BM // CD
BM = CD [gt]
Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành [ vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
MC // BD và MC = BD [1]
AD // BC [ gt] hay DN // BC
Xét tứ giác BCND ta có:
DN // BC
DN = BC [vì cùng bằng AD]
Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
CN // BD và CN = BD [2]
Từ [1] và [2] suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN
Vậy M và N đối xứng qua tâm C.
Câu 93 trang 92 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình 14 trong đó DE // AB, DF // AC. Chứng minh rằng điểm E đối xưng với điểm F qua điểm I.
Giải:
DE // AB [gt] hay DE //AF
DF // AC [gt]
hay DF // AE
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I và IE = IF [ tính chất hình bình hành]
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.
Câu 94 trang 92 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Giải:
Xét tứ giác ABCD ta có:
MA = MC [gt]
MB = MD [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành [ vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường]
AD // BC và AD = BC [1]
Xét tứ giác ACBE:
AN = NB [gt]
NC = NE [ định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường] AE // BC và AE = BC [2]
Từ [1] và [2] suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE
nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Câu 95 trang 92 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A.
Giải:
Vì E đối xứng với D qua AB
AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
AD = AE [tính chất đường trung trực]
nên ADE cân tại A
Suy ra: AB là đường phân giác của \[\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}\]
Vì F đối xứng với D qua AC
AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
AD = AF [ tính chất đường trung trực]
nên ADF cân tại A
Suy ra: AC là đường phân giác của \[\widehat {DAF}\]
\[ \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\]
\[\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}} = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\]
\[= 2\left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right] = {2.90^0} = {180^0}\]
E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với F qua điểm A.