Câu III.5 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 6 tập 2
Chứng minh rằng \[S = {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}} < 1\]
Giải
Ta có\[S = {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}} < 1\]
Nên \[2S = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{19}}}}\]
Do đó \[2{\rm{S}} - S = 1 - {1 \over {{2^{20}}}}\]. Vậy \[S = 1 - {1 \over {{2^{20}}}} < 1\]
Câu III.6 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 6 tập 2
Có bao nhiêu cách viết phân số \[{1 \over 5}\]dưới dạng tổng của hai phân số \[{1 \over a} + {1 \over b}\]với 0 < a < b?
Giải
Vì \[{1 \over a} + {1 \over b} = {1 \over 5}\]nên \[{1 \over a} < {1 \over 5}\]Suy ra a > 5 [1]
Ta lại có 0 < a < b nên \[{1 \over a} > {1 \over b}\]. Do đó \[{1 \over a} + {1 \over a} > {1 \over a} + {1 \over b}\]
Hay \[{2 \over a} > {1 \over 5} = {2 \over {10}}\], suy ra a < 10 [2]
Từ [1] và [2] ta có \[a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\]
Nếu a = 6 thì \[{1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 6} = {1 \over {30}}\]nên b = 30
Nếu a = 7 thì \[{1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 7} = {2 \over {35}}\]suy ra b = 17,5 [loại]
Nếu a = 8 thì \9{1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 8} = {3 \over {40}}\]suy ra \[b \approx 13,3\][loại]
Nếu a = 9 thì \[{1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 9} = {4 \over {45}}\]suy ra b = 11,25 [loại]
Vậy chỉ có một cách viết là \[{1 \over 5} = {1 \over 6} + {1 \over {30}}\]
Câu III.7 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 6 tập 2
Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.
Giải
Đặt \[k = {{\overline {ab} } \over {a + b}}\]
Ta có \[k = {{10{\rm{a}} + b} \over {a + b}} \le {{10{\rm{a}} + 10b} \over {a + b}} = 10\]
\[k = 10 \Leftrightarrow b = 10b \Leftrightarrow b = 0\]
Như vậy k lớn nhất bằng 10 ứng với các số 10; 20; 30; ; 90.
Câu III.8 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 6 tập 2
Có thể tìm được hai chữ số a và b sao cho phân số \[{a \over b}\]bằng số thập phân a, b hay không?
Giải
Giả sử ta tìm được hai chữ số a và b sao cho \[{a \over b} = a,b\]
Rõ ràng ta có a,b > a [vì b # 0] [1]
Ta lại có \[{a \over b} = a.{1 \over b}\]mà \[{1 \over b} \le 1\]nên \[a.{1 \over b} \le a\]
Hay \[{a \over b} \le a\] [2]
Vậy \[{a \over b} < a,b\]nghĩa là không tìm được hai chữ số a, b thỏa mãn đề bài.