Bài 30 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB [đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn]. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn [M khác A và B], kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {CO{\rm{D}}} = {90^0}\]
b] \[CD=AC+BD\]
c] Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
Ta có:
\[OA\perp AC\]
\[OB\perp BD\]
Suy ra Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[\left\{\begin{matrix} CM=CA\\ DM=BD \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix}\widehat{AOC}=\widehat{COM}\\ \widehat{MOD}=\widehat{DOB} \end{matrix}\right.\]
a] Ta có:
\[\widehat{AOC}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180^o\]
\[\Leftrightarrow 2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^o\]
\[\Leftrightarrow \widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^o\]
\[\Leftrightarrow \widehat{COD}=90^o\]
b] Ta có:
\[CD=CM+MD=AC+BD\]
c] Xét tam giác COD vuông tại O ta có:
\[MO^2=MC.MD=AC.BD=R^2\]
Bài 31 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1
Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn [O].
a] Chứng minh rằng:
\[2AD=AB+AC-BC.\]
b] Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a].
Giải:
a] Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[AD=AF; BD=BE; CF=CE.\]
Xét vế phải:
\[AB+AC-BC\]
\[=[AD+DB]+[AF+FC]-[BE+EC]\]
\[=[AD+BE]+[AF+CE]-[BE+EC]\]
\[= AD+AF=2AD.\]
b] Các hệ thức tương tự là:
\[2BD=BA+BC-AC;\]
\[2CF=CA+CB-AB.\]
Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau:
\[AD=AF=p-a;\]
\[BD=BE=p-b;\]
\[CE=CF=p-c\]
trong đó \[AB=c; BC=a; CA=b\] và p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 32 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1
Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:
[A] \[6cm^{2}\];
[B] \[\sqrt{3}cm^{2}\];
[C]\[\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}\]
[D]\[3\sqrt{3}cm^{2}.\]
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Giải:
Tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng là giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao.
Do đó đường cao \[h=AE=3.OE=3cm.\]
Trong tam giác đều, \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\][a là độ dài mỗi cạnh].
Suy ra\[a=\frac{2\cdot h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[cm].\]
Do đó diện tích tam giác ABC là
\[S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}[cm^{2}].\]
Ta chọn [D].