Câu 29 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Giải các phương trình sau:
a. \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + 5x - 2} \right] - \left[ {{x^3} - 1} \right] = 0\]
b. \[{x^2} + \left[ {x + 2} \right]\left[ {11x - 7} \right] = 4\]
c. \[{x^3} + 1 = x\left[ {x + 1} \right]\]
d. \[{x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\]
Giải:
a. \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + 5x - 2} \right] - \left[ {{x^3} - 1} \right] = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + 5x - 2} \right] - \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {\left[ {{x^2} + 5x - 2} \right] - \left[ {{x^2} + x + 1} \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + 5x - 2 - {x^2} - x - 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {4x - 3} \right] = 0 \cr} \]
\[\Leftrightarrow x - 1 = 0\] hoặc \[4x - 3 = 0\]
+ \[x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
+ \[4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\]
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 0,75
b. \[{x^2} + \left[ {x + 2} \right]\left[ {11x - 7} \right] = 4\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 4 + \left[ {x + 2} \right]\left[ {11x - 7} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right] + \left[ {x + 2} \right]\left[ {11x - 7} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {\left[ {x - 2} \right] + \left[ {11x - 7} \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2 + 11x - 7} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {12x - 9} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x + 2 = 0\] hoặc \[12x - 9 = 0\]
+ \[x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\]
+ \[12x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\]
Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 0,75
c. \[{x^3} + 1 = x\left[ {x + 1} \right]\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right] = x\left[ {x + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right] - x\left[ {x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {\left[ {{x^2} - x + 1} \right] - x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1 - x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]{\left[ {x - 1} \right]^2} = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x + 1 = 0\] hoặc \[{\left[ {x - 1} \right]^2} = 0\]
+ \[x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]
+ \[{\left[ {x - 1} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 1
d. \[{x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2}\left[ {x + 1} \right] + \left[ {x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = 0 \cr} \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\] hoặc \[x + 1 = 0\]
+ \[{x^2} + 1 = 0\] : vô nghiệm [vì \[{x^2} \ge 0\] nên \[{x^2} + 1 > 0\] ]
+ \[x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Câu 30 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Giải các phương trình bậc hai sau đây bằng cách đưa về dạng phương trình tích.
a. \[{x^2} - 3x + 2 = 0\]
b. \[- {x^2} + 5x - 6 = 0\]
c. \[4{x^2} - 12x + 5 = 0\]
d. \[2{x^2} + 5x + 3 = 0\]
Giải:
a. \[{x^2} - 3x + 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow x\left[ {x - 1} \right] - 2\left[ {x - 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x - 2 = 0\] hoặc \[x - 1 = 0\]
+ \[x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \]
+ \[x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 1.
b. \[ - {x^2} + 5x - 6 = 0\] \[ \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3x - 6 = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow - x\left[ {x - 2} \right] + 3\left[ {x - 2} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {3 - x} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x - 2 = 0\] hoặc \[3 - x = 0\]
+ \[x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\]
+ \[3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\]
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 3
c. \[4{x^2} - 12x + 5 = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x - 10x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left[ {2x - 1} \right] - 5\left[ {2x - 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {2x - 1} \right]\left[ {2x - 5} \right] = 0 \cr} \] \[ \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\] hoặc \[2x - 5 = 0\]
+ \[2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0,5\]
+ \[2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\]
Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = 2,5
d. \[2{x^2} + 5x + 3 = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 3x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left[ {x + 1} \right] + 3\left[ {x + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {2x + 3} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\] hoặc \[x + 1 = 0\]
+ \[2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,5\]
+ \[x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]
Vậy phương trình có nghiệm x = -1,5 hoặc x = -1
Câu 31 trang 10 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
a. \[\left[ {x - \sqrt 2 } \right] + 3\left[ {{x^2} - 2} \right] = 0\]
b. \[{x^2} - 5 = \left[ {2x - \sqrt 5 } \right]\left[ {x + \sqrt 5 } \right]\]
Giải:
a. \[\left[ {x - \sqrt 2 } \right] + 3\left[ {{x^2} - 2} \right] = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {x - \sqrt 2 } \right] + 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right]\left[ {x - \sqrt 2 } \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x - \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + 3x + 3\sqrt 2 } \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x - \sqrt 2 = 0\]hoặc \[1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0\]
+ \[x - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \]
+ \[1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = - {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \sqrt 2 \] hoặc \[x = - {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\]
b. \[{x^2} - 5 = \left[ {2x - \sqrt 5 } \right]\left[ {x + \sqrt 5 } \right]\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {x + \sqrt 5 } \right]\left[ {x - \sqrt 5 } \right] = \left[ {2x - \sqrt 5 } \right]\left[ {x + \sqrt 5 } \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + \sqrt 5 } \right]\left[ {x - \sqrt 5 } \right] - \left[ {2x - \sqrt 5 } \right]\left[ {x + \sqrt 5 } \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + \sqrt 5 } \right]\left[ {\left[ {x - \sqrt 5 } \right] - \left[ {2x - \sqrt 5 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + \sqrt 5 } \right]\left[ { - x} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x + \sqrt 5 = 0\]hoặc \[ - x = 0\]
+ \[x + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt 5 \]
+ \[ - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = - \sqrt 5 \] hoặc x = 0