Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a] \[\cos 2x - \sin x - 1 = 0\]
b] \[\cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x\]
c] \[4\sin x\cos x\cos 2x = - 1\]
d] \[\tan x = 3\cot x\]
Giải:
a]
\[\eqalign{
& \cos 2x - \sin x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x[2\sin x + 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& \cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos 2x - \sin x\sin 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = 1 \Leftrightarrow 3x = k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = {{k2\pi } \over 3},k \in {\rm Z} \cr}\]
c]
\[\eqalign{
& 4\sin x\cos x\cos 2x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = - {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr}\]
d]
\[\tan x = 3\cot x\]. Điều kiện cosx 0 và sinx 0.
Ta có:
\[\eqalign{
& \tan x = {3 \over {\tan x}} \cr
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \]
Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a] \[\sin x + 2\sin 3x = - \sin 5x\]
b] \[\cos 5x\cos x = \cos 4x\]
c] \[\sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x\]
d] \[{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x\]
Giải:
a]
\[\eqalign{
& \sin x + 2\sin 3x = - \sin 5x \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\left[ {\cos 2x + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4\sin 3x{\cos ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 3x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 3},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& \cos 5x\cos x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left[ {\cos 6x + \cos 4x} \right] = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow 6x = \pm 4x + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
10x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\]
Tập {kπ, k Z} chứa trong tập \[\left\{ {l{\pi \over 5},l \in {\rm Z}} \right\}\] ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: \[x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z}\]
c]
\[\eqalign{
& \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\left[ {\cos 2x - 2\sin x\sin 3x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 4x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
4x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \]
d]
\[\eqalign{
& {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}{\cos ^2}2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + {1 \over 2}\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = - 2 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm [Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm]
Bài 3.3 trang 36 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a] \[3{\cos ^2}x - 2\sin x + 2 = 0\]
b] \[5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0\]
c] \[{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x\]
d] \[ - {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x\]
Giải:
a]
\[\eqalign{
& 3{\cos ^2}x - 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] - 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 2\sin x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sin x - 1} \right]\left[ {3\sin x + 5} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& 5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{\cos ^2}x - 3\cos x - 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\cos x + 1} \right]\left[ {5\cos x - 8} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow x = \left[ {2k + 1} \right]\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right] = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}{\sin ^2}2x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}\left[ {1 - {{\cos }^2}2x} \right] = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {{13} \over 4}{\cos ^2}2x = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 13\left[ {{{1 + \cos 4x} \over 2}} \right] = 1 \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x = {2 \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = - {{11} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow 4x = \pm \arccos \left[ { - {{11} \over {13}}} \right] + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {1 \over 4}\arccos \left[ { - {{11} \over {13}}} \right] + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \]
d]
\[\eqalign{
& - {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow - {1 \over 4} + {{1 - \cos 2x} \over 2} = {\left[ {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow - 1 + 2 - 2\cos 2x = 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 4\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = - 4\left[ {Vô\,\,nghiệm} \right]{\rm{ }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \]
Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a] \[2\tan x - 3\cot x - 2 = 0\]
b] \[{\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\]
c] \[\cot x - \cot 2x = \tan x + 1\]
Giải
a]\[2\tan x - 3\cot x - 2 = 0\] Điều kiện cosx 0 và sinx 0
Ta có
\[\eqalign{
& {\rm{2}}\tan x - {3 \over {\tan x}} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 2} \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left[ {{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right] + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left[ {{{1 - \sqrt 7 } \over 2}} \right] + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\]
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
b] \[{\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\]
Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx 0, chia hai vế của phương trình chocos2x ta được:
\[\eqalign{
& 1 = 6\tan x + 3\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 6\tan x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{ - 3 \pm \sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left[ {{{ - 3 + \sqrt 3 } \over 3}} \right] + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left[ {{{ - 3 - \sqrt 3 } \over 3}} \right] + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \]
c] \[\cot x - \cot 2x = \tan x + 1\] [1]
Điều kiện: sinx 0 và cosx 0. Khi đó:
\[\eqalign{
& \left[ 1 \right] \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} - {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{\sin x} \over {\cos x}} + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \cos 2x = 2{\sin ^2}x + \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right] - \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \cr
& \Rightarrow 2x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \]
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình