Bài 3.10 trang 177 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_0^1 {[{y^3} + 3{y^2} - 2]dy} \]
b]\[\int\limits_1^4 {[t + {1 \over {\sqrt t }}} - {1 \over {{t^2}}}]dt\]
c] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[2\cos x - \sin 2x]dx} \]
d] \[\int\limits_0^1 {{{[{3^s} - {2^s}]}^2}ds} \]
e] \[\int\limits_0^{{\pi \over 3}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{\pi \over 3}}^{{{3\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{{{5\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} \]
g]\[\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx} \]
h] \[\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\]
i] \[\int\limits_0^4 {{{4x - 1} \over {\sqrt {2x + 1} + 2}}} dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[- {3 \over 4}\]
b] \[{{35} \over 4}\]
c] 1
d] \[{4 \over {\ln 3}} - {{10} \over {\ln 6}} + {3 \over {2\ln 2}}\]
e] \[- {1 \over 3}\]
g] \[{{31} \over 6}\] .
HD: \[\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx }\]
\[{= \int\limits_0^2 { - [{x^2} - x - 2]dx + \int\limits_2^3 {[{x^2} - x - 2]dx} } } \]
h] \[{1 \over 2}\ln 2\].
HD: \[\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\]
\[= \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {|\sin x + \cos x|}}} dx = \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{d[\sin x + \cos x]} \over {\sin x + \cos x}}} \]
i] \[{{34} \over 3} + 10\ln {3 \over 5}\] .
HD: Đặt \[t = \sqrt {2x + 1} \]
Sachbaittap.com
Bài 3.11 trang 177 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a] \[\int\limits_1^2 {x{{[1 - x]}^5}dx} \] [đặt t = 1 x]
b] \[\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \] [đặt \[t = \sqrt {{e^x} - 1} \]]
c] \[\int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 - x} dx} \] [đặt \[t = \root 3 \of {1 - x} \]]
d] \[\int\limits_{ - 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx\] [đặt \[u = \sqrt {{x^2} + x + 1} \]]
e] \[\int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx\] [đặt \[t = {1 \over x}\]]
g] \[\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} \] [đặt \[x = \pi - t\] ]
h] \[\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{[1 - {x^3}]}^4}dx} \]
i] \[\int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}} \] [đặt \[x = \tan u\]]
Hướng dẫn làm bài
a] \[- {{13} \over {42}}\]
b] \[2 - {\pi \over 2}\]
c] \[- {{468} \over 7}\]
d] \[2[\sqrt 3 - 1]\]
e] \[- {1 \over 3}[{{5\sqrt 5 } \over 8} - 2\sqrt 2 ]\]
g] \[{{{\pi ^2}} \over 4}\] .
HD: Đặt \[x = \pi - t\] , ta suy ra:
\[\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{ - d[\cos x]} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} \]
Vậy \[\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_{ - 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}} \] .
Đặt tiếp t = tan u
h] \[{{{2^5}} \over {15}}\].
HD: Đặt t = 1 x3
i] \[{\pi \over 4}\]
Bài 3.12 trang 178 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos 2xdx} \]
b] \[\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \]
c] \[\int\limits_0^1 {\ln [2x + 1]dx} \]
d] \[\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln [x - 1] - \ln [x + 1]{\rm{]}}dx} \]
e] \[\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {[1 + x - {1 \over x}]{e^{x + {1 \over x}}}dx} \]
g] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \]
h] \[\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{[1 + x]}^2}}}} dx\]
i] \[\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[- {1 \over 2}\]
b] \[{1 \over 4}[{3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2}]\]
c] \[{3 \over 2}\ln 3 - 1\]
d] \[3\ln 3 - 6\ln 2\]
e] \[{3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}\].
HD: \[\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {[1 + x - {1 \over x}]{e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {[x - {1 \over x}]{e^{x + {1 \over x}}}dx} \]
Tính tích phân từng phần: \[\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {[x - {1 \over x}]{e^{x + {1 \over x}}}dx} \]
g] \[{\pi \over 6} - {2 \over 9}\]
HD: Đặt \[u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\]
h] \[{e \over 2} - 1\].HD: \[\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{[1 + x]}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{[1 + x]}^2}}}dx} \]và tính tích phân từng phần :
\[\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{[1 + x]}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{
1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} \]
i] ee . HD: Tương tự câu g]
Bài 3.13 trang 178 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các tích phân sau đây:
a] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[x + 1]\cos [x + {\pi \over 2}} ]dx\]
b] \[\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}[x + 1]dx} \]
c] \[\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over {{x^4} + 1}}} dx\] [đặt \[t = x + {1 \over x}\]]
d]\[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \]
Hướng dẫn làm bài
a] 2
b] \[{1 \over {2\ln 2}}[{1 \over 2} + {\ln ^2}2]\]. HD:\[{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}[x + 1] = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln [x + 1] + {{\ln [x + 1]} \over {x + 1}}{\rm{]}}\]
c]\[{1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\] . HD: Đặt \[t = x + {1 \over x}\] , ta nhận được:
\[\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} - 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t - \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\]
d] \[\ln 2 - {1 \over 2}\] . HD: \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x.{{d[\sin x + 1]} \over {{{[\sin x + 1]}^2}}}} = \ln 2 - {1 \over 2}\]