Bài 3.16 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Một đoạn thẳng ABkhông vuông góc với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]cắt mặt phẳng này tại trung điểm Ocủa đoạn thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với \[\left[ \alpha \right]\]qua Avà Blần lượt cắt mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]tại Avà B.
Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng và AA = BB
Giải:
\[\left\{ \matrix{
AA' \bot \left[ \alpha \right] \hfill \cr
BB' \bot \left[ \alpha \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow AA'\parallel BB'\]
Mặt phẳng [AA, BB] xác định bởi hai đường thẳng song song [AA, BB] cắt mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]theo giao tuyến qua O, A, B. Do đó ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Hai tam giác vuông OAAvà OBB bằng nhau vì có một cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau nên từ đó ta suy ra AA = BB.
Bài 3.17 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác ABC. Gọi \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CAtại Avà \[\left[ \beta \right]\]là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CBtại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ \beta \right]\]cắt nhau và giao tuyến dcủa chúng vuông góc với mặt phẳng [ABC].
Giải:
Hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ \beta \right]\]không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm Cta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.
Mặt khác \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ \beta \right]\]cũng không song song với nhau.
Vì nếu \[\left[ \alpha \right]\parallel \left[ \beta \right]\], thì từ \[CB \bot \left[ \beta \right]\]ta suy ra \[CB \bot \left[ \alpha \right]\]
Như vậy từ một điểm Cta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với \[\left[ \alpha \right]\], điều đó là vô lí.
Vậy \[\left[ \alpha \right]\]và \[\left[ \beta \right]\]là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là \[d = \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]\]
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d \subset \left[ \alpha \right] \hfill \cr
CA \bot \left[ \alpha \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow CA \bot d\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr
& \left\{ \matrix{
d \subset \left[ \beta \right] \hfill \cr
CB \bot \left[ \beta \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow CB \bot d\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Từ [1]và [2]suy ra \[d \bot \left[ {ABC} \right]\].
Bài 3.18 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABCvà biết rằng AH vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Chứng minh rằng:
a] AA BC và AA BC.
b] Gọi MMlà giao tuyến của mặt phẳng [AHA] với mặt bên BCCB, trong đó M BC và M BC. Chứng minh rằng tứ giác BCCB là hình chữ nhật và MMlà đường cao của hình chữ nhật đó.
Giải:
a] \[BC \bot AH\]và \[BC \bot A'H\]vì \[A'H \bot \left[ {ABC} \right]\]
\[ \Rightarrow BC \bot \left[ {A'HA} \right] \Rightarrow BC \bot AA'\]
Và \[B'C' \bot AA'\]vì \[BC\parallel B'C'\]
b] Ta có \[AA'\parallel BB'\parallel CC'\]mà \[BC \bot AA'\]nên tứ giác BCCB là hình chữ nhật. Vì \[AA'\parallel \left[ {BCC'B'} \right]\]nên ta suy ra \[MM' \bot BC\]và \[MM' \bot B'C'\]hay MMlà đường cao của hình chữ nhật BCCB.
Bài 3.19 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABClà tam giác vuông tại Avà có cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy là [ABC]. Gọi Dlà điểm đối xứng của của điểm Bqua trung điểm Ocủa cạnh AC. Chứng minh rằng \[C{\rm{D}} \bot CA\]và \[C{\rm{D}} \bot \left[ {SCA} \right]\].
Giải:
Ta có
\[SA \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow SA \bot DC \subset \left[ {ABC} \right]\]
Vì ACvà BDcắt nhau tại trung điểm Ocủa mỗi đoạn nên tứ giác ABCD là hình bình hành và ta có \[AB\parallel C{\rm{D}}\]. Vì \[AB \bot AC\]nên \[C{\rm{D}} \bot CA\]. Mặt khác ta có \[C{\rm{D}} \bot SA\], do đó \[C{\rm{D}} \bot \left[ {SCA} \right]\]