Bài 3.17 trang 113 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]trong các trường hợp sau:
a] \[[\alpha ]\]đi qua điểm M[2;0; 1] và nhận \[\overrightarrow n = [1;1;1]\]làm vecto pháp tuyến;
b] \[[\alpha ]\]đi qua điểm A[1; 0; 0] và song song với giá của hai vecto \[\overrightarrow u = [0;1;1],\overrightarrow v = [ - 1;0;2]\];
c] \[[\alpha ]\]đi qua ba điểm M[1;1;1], N[4; 3; 2], P[5; 2; 1].
Hướng dẫn làm bài:
a] Phương trình \[[\alpha ]\]có dạng: [x 2]+ [y] + [z 1] = 0 hay x + y + z 3 = 0
b] Hai vecto có giá song song với mặt phẳng \[[\alpha ]\] là: \[\overrightarrow u = [0;1;1]\]và \[\overrightarrow v = [ - 1;0;2]\].
Suy ra \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n = \overrightarrow u \wedge \overrightarrow v = [2; - 1;1]\]
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua điểm A[1; 0; 0] và nhận \[\overrightarrow n = [2; - 1;1]\] là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của \[[\alpha ]\]là: 2[x 1] y +z = 0 hay 2x y + z 2 = 0
c] Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \[[\alpha ]\]là:\[\overrightarrow {MN} = [3;2;1]\] và\[\overrightarrow {MP} = [4;1;0]\]
Suy ra \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n = \overrightarrow {MN} \wedge \overrightarrow {MP} = [ - 1;4; - 5]\]
Vậy phương trình của \[[\alpha ]\]là: -1[x 1] + 4[y 1] 5[z 1] = 0
hay x 4y + 5z 2 = 0
Bài 3.18 trang 113 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[1; -2; 4], B[3; 6; 2].
Hướng dẫn làm bài
Đoạn thẳng AB có trung điểm là I[2; 2; 3]
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n = \overrightarrow {IB} = [1;4; - 1]\]. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
1[x 2] + 4[y 2] 1[z 3] = 0 hay x + 4y z 7 = 0.
Bài 3.19 trang 113 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho tứ diện có các đỉnh là A[5; 1; 3], B[1; 6; 2], C[5; 0 ; 4], D[4; 0 ; 6]
a] Hãy viết phương trình mặt phẳng [ABC].
b] Hãy viết phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua điểm D và song song với mặt phẳng [ABC].
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 4;5; - 1]\] và \[\overrightarrow {AC} = [0; - 1;1]\]suy ra\[\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = [4;4;4]\]
Do đó [ABC] có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n = [4;4;4]\] hoặc\[\overrightarrow n ' = [1;1;1]\]
Suy ra phương trình của [ABC] là: [x 5] + [y 1] + [z 3] = 0
hay x + y + z 9 =0
b] Mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua điểm D và song song với mặt phẳng [ABC] nên \[[\alpha ]\]cũng có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow n ' = [1;1;1]\]
Vậy phương trình của \[[\alpha ]\]là: [x 4] + [y] + [z 6] = 0 hay x + y + z 10 = 0.
Bài 3.20 trang 113 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Hãy viết phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] và song song với mặt phẳng \[[\beta ]\]: x + y + 2z 7 = 0.
Hướng dẫn làm bài
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]song song với mặt phẳng \[[\beta ]\]: x + y + 2z 7 = 0
Vậy phương trình của \[[\alpha ]\]có dạng : x + y + 2z + D = 0
\[[\alpha ]\]đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] suy ra D = 0.
Vậy phương trình của \[[\alpha ]\]là x + y + 2z = 0.