Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng d và mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] có phương trình:
\[d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\,\,;\,\,\left[ \alpha \right]:2x + y + z - 8 = 0\].
a] Tìm góc giữa d và \[\left[ \alpha \right]\].
b] Tìm tọa độ giao điểm của d và \[\left[ \alpha \right]\].
c] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \[\left[ \alpha \right]\].
Giải
a] Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2;3;5} \right]\], \[mp\left[ \alpha \right]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {2;1;1} \right]\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa d và \[\left[ \alpha \right]\] thì \[0 \le \varphi \le {90^0}\] và
\[\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\].
b] d có phương trình tham số
\[\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 3t \hfill \cr
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\].
Thay x, y, z vào phương trình \[\left[ \alpha \right]\]ta có:
\[2\left[ {2 + 2t} \right] + \left[ { - 1 + 3t} \right] + \left[ {1 + 5t} \right] = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}\]
Ta được giao điểm \[M\left[ {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right]\].
c] Gọi \[\left[ \beta \right]\]là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \[\left[ \alpha \right]\]thì hình chiếu d của d trên \[\left[ \alpha \right]\] là giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\]. Bởi vậy ta cần tìm phương trình của \[\left[ \beta \right]\]. Vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[\beta ]}}} \]của\[\left[ \beta \right]\] vuông góc với cả \[\overrightarrow u \]và \[\overrightarrow n \]nên ta chọn \[\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left[ { - 2;8; - 4} \right]\]. Ngoài ra, \[\left[ \beta \right]\] đi qua d nên cũng đi qua điểm \[A\left[ {2; - 1;1} \right]\]. Do đó \[\left[ \beta \right]\] có phương trình:
\[ - 2\left[ {x - 2} \right] + 8\left[ {y + 1} \right] - 4\left[ {z - 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0\].
Hình chiếu d qua I và có vectơ chỉ phương:
\[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \]
\[= \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
- 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= \left[ { - 6;3;9} \right] = 3\left[ { - 2;1;3} \right]\]
Vậy d có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\]
Bài 33 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng \[\Delta \] và mp[P] có phương trình:
\[\Delta :{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 2}\,\,;\,\,\left[ P \right]:2x + z - 5 = 0\].
a] Xác định tọa độ giao điểm A của\[\Delta \] và [P].
b] Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong [P] và vuông góc với \[\Delta \].
Giải
a] Phương trình tham số của\[\Delta \] là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 + 2t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\].
Thay x, y, z vào phương trình của mp[P] ta được:
\[2\left[ {1 + t} \right] + 3 + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 0\].
Vậy giao điểm của\[\Delta \] và mp[P] là A[1; 2; 3].
b] Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong [P] và vuông góc với \[\Delta \]. Vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} \] của d phải vuông góc với chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;2;2} \right]\]của\[\Delta \] đồng thời vuông góc với cả vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {2;0;1} \right]\] của [P] nên ta chọn \[\overrightarrow {u'} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left[ {2;3; - 4} \right]\].
Vậy d có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 - 4t \hfill \cr} \right.\]
Bài 34 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
a] Tính khoảng cách từ điểm M[2; 3; 1] đến đường thẳng \[\Delta \] có phương trình \[{{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}\].
b] Tính khoảng cách từ điểm \[N\left[ {2;3; - 1} \right]\]đến đường thẳng\[\Delta \] đi qua điểm \[{M_0}\left[ { - {1 \over 2};0; - {3 \over 4}} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ { - 4;2; - 1} \right]\].
Giải
a] Đường thẳng\[\Delta \] đi qua \[{M_0}\left[ { - 2;1; - 1} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;2; - 2} \right]\]
Ta có \[\overrightarrow {{M_0}M} = \left[ {4;2;2} \right]\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right] = \left[ {8; - 10; - 6} \right]\].
Vậy khoảng cách cần tìm là \[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{8^2} + {{[-10]}^2} + {[-6]^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {[-2]^2}} }} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\].
b] Ta có \[\overrightarrow {{M_0}N} = \left[ {{5 \over 2};3; - {1 \over 4}} \right]\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right] = \left[ {{5 \over 2}; - {7 \over 2};17} \right]\].
Vậy khoảng cách cần tìm là:
\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{\left[ {{5 \over 2}} \right]}^2} + {{\left[ {{-7 \over 2}} \right]}^2} + {{17}^2}} } \over {\sqrt {{4^2} + {2^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {2870} } \over {14}}\]
Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a]
\[d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\] và
\[d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr
z = 3 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\] và
\[d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr
y = {2 + 3t'} \hfill \cr
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Đường thẳng d đi qua \[{M_1}\left[ {1; - 1;1} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {1; - 1;0} \right]\].
Đường thẳng d đi qua điểm \[{M_2}\left[ {2; - 2;3} \right]\], có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} \left[ { - 1;1;0} \right]\]. Vì \[\overrightarrow {{u_1}} \] và\[\overrightarrow {{u_2}} \] cùng phương nhưng \[\overrightarrow {{u_1}} \];\[\overrightarrow {{u_2}} \] không cùng phương với \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {1; - 1;2} \right]\] nên hai đường thẳng đó song song.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ \[{M_1}\]tới d và bằng \[{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = 2\]
b] Đường thẳng d đi qua \[M\left[ {0;4; - 1} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ { - 1;1; - 2} \right]\].
Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {0;2; - 4} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ { - 1;3;3} \right]\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \left[ {0; - 2; - 3} \right]\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {9;5; - 2} \right]\].
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 4 \ne 0 \Rightarrow d\] và d chéo nhau.
Khoảng cách giữa \[{d_1}\]và \[{d_2}\] là:
\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\]