Câu 3.27 trang 185 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau:
a] \[\int {[2x - 3]\sqrt {x - 3} dx} \], đặt \[u = \sqrt {x - 3} \]
b] \[\int {{x \over {{{[1 + {x^2}]}^{{3 \over 2}}}}}} dx\], đặt\[u = \sqrt {{x^2} + 1} \]
c] \[\int {{{{e^x}} \over {{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\], đặt \[u = {e^{2x}} + 1\]
d]\[\int {{1 \over {\sin x - \sin a}}} dx\]
e] \[\int {\sqrt x \sin \sqrt x } dx\], đặt \[t = \sqrt x \]
g]\[\int {x\ln {x \over {1 + x}}} dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{2 \over 5}{[x - 3]^{{3 \over 2}}}[2x - 1] + C\]
b]\[- {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\]
c] \[{1 \over 2}\ln [{e^{2x}} + 1] + C\]
d] \[{1 \over {\cos a}}\ln |{{\sin {{x - a} \over 2}} \over {\cos {{x - a} \over 2}}}| + C\]. HD: Ta có:\[\cos a = \cos [{{x - a} \over 2} - {{x + a} \over 2}]\]
e] \[- 2x\cos \sqrt x + 4\sqrt x \sin \sqrt x + 4\cos \sqrt x + C\]
g] \[{{{x^2}} \over 2}\ln {x \over {1 + x}} + {1 \over 2}\ln |1 + x| - {1 \over 2}x + C\]
Bài 3.28 trang 186 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_0^1 {{{[y - 1]}^2}\sqrt y } dy\], đặt \[t = \sqrt y \]
b] \[\int\limits_1^2 {[{z^2} + 1]\root 3 \of {{{[z - 1]}^2}} } dz\], đặt \[u = \root 3 \of {{{[z - 1]}^2}} \]
c] \[\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx\]
d] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[{{\cos }^5}\varphi } - {\sin ^5}\varphi ]d\varphi \]
e] \[\int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}\alpha \cos 3\alpha } d\alpha \]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{{16} \over {105}}\]
b] \[2{{49} \over {220}}\]
c] \[{{38} \over {15}}\].
HD: \[\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx = {1 \over 5}\int\limits_1^e {{{[4 + 5\ln x]}^{{1 \over 2}}}d[4 + 5\ln x]} \]
d] 0
e]\[{\pi \over 8}\] .
HD: Dùng công thức hạ bậc đối với \[{\cos ^3}x\]
Câu 3.29 trang 186 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\]
b] \[\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx\]
c] \[\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln [x + 1]dx\]
d] \[\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{x\sin x + [x + 1]\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{1 \over 4}[1 + {\pi \over 4}]\] . HD: \[{{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x\]
b] \[{1 \over 2}\ln {{[e - 1][\sqrt e + 1]} \over {[e + 1][\sqrt e - 1]}}\] . HD:\[{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}[{{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}}]\]
c] \[{1 \over 2}[{\ln ^2}2 - \ln 2 + 1]\]. HD: \[{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln [x + 1] = {{\ln [x + 1]} \over {x + 1}} + {{\ln [x + 1]} \over {{{[x + 1]}^2}}}\]
d] \[{\pi \over 4} + \ln [1 + {\pi \over 4}] - {1 \over 2}\ln 2\].
HD: \[{{x\sin x + [x + 1]\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}\] và \[d[x\sin x + \cos x] = x\cos xdx\]