Bài 3.35 trang 129 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \[[\alpha ]\]trong các trường hợp sau
a] \[d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\] và \[[\alpha ]\]: x + 2y + z - 3 = 0
b] d: \[\left\{ {\matrix{{x = 2 - t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\] và\[[\alpha ]\] : x + z + 5 = 0
c]\[d:\left\{ {\matrix{{x = 3 - t} \cr {y = 2 - t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\] và \[[\alpha ]\]: x +y + z -6 = 0
Hướng dẫn làm bài:
a] Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \[[\alpha ]\]ta được: t + 2[1 + 2t] + [1 t] 3 = 0
⟺4t = 0 ⟺ t = 0
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng\[[\alpha ]\] tại M0[0; 1; 1].
b] Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \[[\alpha ]\]ta được: [2 t] +[2 + t] + 5 = 0 ⟺0t = -9
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với\[[\alpha ]\]
c] Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \[[\alpha ]\]ta được: [3 t] + [2 t] + [1 + 2t] 6 = 0 ⟺0t = 0
Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \[[\alpha ]\] .
Bài 3.36 trang 130 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm A[1; 0; 1] đến đường thẳng \[\Delta :{{x - 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\]
Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng \[\Delta \]đi qua điểm M0[1; 0; 0] và có vecto chỉ phương\[\overrightarrow a = [2;2;1]\].
Ta có\[\overrightarrow {{M_0}A} = [0;0;1],\overrightarrow n = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{M_0}A} = [2; - 2;0]\].
\[d[A,\Delta ] = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\]
Vậy khoảng cách từ điểm A đến \[\Delta \]là \[{{2\sqrt 2 } \over 3}\].
Bài 3.37 trang 130 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho đường thẳng \[\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\] và mặt phẳng \[[\alpha ]\]: 2x 2y + z + 3 = 0
a] Chứng minh rằng \[\Delta \]song song với \[[\alpha ]\].
b] Tính khoảng cách giữa \[\Delta \]và\[[\alpha ]\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có: \[\overrightarrow {{a_\Delta }} = [2;3;2]\] và\[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [2; - 2;1]\]
\[\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\] [1]
Xét điểm M0[-3; -1; -1] thuộc \[\Delta \], ta thấy tọa độ M0không thỏa mãn phương trình của \[[\alpha ]\]. Vậy \[{M_0} \notin [\alpha ]\] [2].
Từ [1] và [2] ta suy ra \[\Delta //[\alpha ]\]
b] \[d[\Delta ,[\alpha ]] = d[{M_0},[\alpha ]] = {{|2.[ - 3] - 2.[ - 1] + [ - 1] + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\]
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \[\Delta \]và mặt phẳng \[[\alpha ]\]là \[{2 \over 3}\].
Bài 3.38 trang 130 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \[\Delta \]và \[\Delta '\]trong các trường hợp sau:
a]\[\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\] và \[\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = 2 - 3t'} \cr {y = 2 + 3t'} \cr {z = 3t'} \cr} } \right.\]
b]\[\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\] và \[\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Gọi \[[\alpha ]\]là mặt phẳng chứa \[\Delta \]và song song với \[\Delta '\]. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \[[\alpha ]\]là: \[\overrightarrow a = [1; - 1;0]\]và \[\overrightarrow a ' = [ - 1;1;1]\]. Suy ra \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [ - 1; - 1;0]\]
\[[\alpha ]\]đi qua điểm M1[1; -1; 1] thuộc \[\Delta \]và có vecto pháp tuyến: \[\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = [1;1;0]\]
Vậy phưong trình của mặt phẳng \[[\alpha ]\] có dạng x 1 + y + 1= hay x + y = 0
Ta có: M2[[2; 2; 0] thuộc đường thẳng \[\Delta '\]
\[d[\Delta ,\Delta '] = d[{M_2},[\alpha ]] = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \]
b] Hai đường thẳng \[\Delta \]và \[\Delta '\]có phương trình là:
\[\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\] và \[\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\]
Phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]chứa \[\Delta \]và song song với \[\Delta '\]là 9x + 5y 2z 22 = 0
Lấy điểm M[0; 2; 0] trên \[\Delta '\].
Ta có \[d[\Delta ,\Delta '] = d[M',[\alpha ]] = {{|5.[2] - 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\]
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \[\Delta \]và \[\Delta '\]là \[{{12} \over {\sqrt {110} }}\].