Bài 3.54 trang 132 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hai đường thẳng d: \[\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = - 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\] và d1: \[\left\{ {\matrix{{x = - 2 + t'} \cr {y = - 2} \cr {z = - 11 - t'} \cr} } \right.\]
Lập phương trình mặt phẳng [P] sao cho khoảng cách từ d và d1đến [P] là bằng nhau.
Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng d đi qua M[6; 0 ;7] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a [0; - 2;1]\]. Đường thẳng d1đi qua N[-2; -2; -11] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow b [1;0; - 1]\].
Do d và d1chéo nhau nên [P] là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A[6; - 2t; 7 + t] thuộc d, B[ -2 + t; -2 ; -11 t] thuộc d1. Khi đó: \[\overrightarrow {AB} = [ - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t']\]
Ta có: \[\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \]
\[\Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{ - 2[ - 2 + 2t] + [ - 18 - t - t'] = 0} \cr { - 8 + t' - [ - 18 - t - t'] = 0} \cr} } \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{ - 5t - t' - 14 = 0} \cr {t + 2t' + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{t = - 2} \cr {t' = - 4} \cr} } \right.\]
Suy ra A[6; 4; 5], B[-6; -2; -7]
Trung điểm của AB là I[0; 1; -1]
Ta có:\[\overrightarrow {AB} = [ - 12; - 6; - 12]\]. Chọn\[\overrightarrow {{n_P}} = [2;1;2]\]
Phương trình của [P] là: 2x + [y 1] + 2[z + 1] = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1là:
\[\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left[ {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right] \cr & = \left[ {2;1;2} \right] \cr} \]
Gọi [Q] là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó:
\[\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left[ {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right] \cr & = \left[ {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right] = [ - 5;2;4] \cr} \]
Phương trình của [Q] là : \[5[x 6] + 2y + 4[z 7] = 0\] hay \[5x + 2y + 4z + 2 = 0\]
Để tìm\[{d_1} \cap [Q]\] ta thế phương trình của d1 vào phương trình của [Q]. Ta có:
\[5[2 + t] + 2[2] +4[11 t ] + 2 = 0\]
\[\Rightarrowt = 4\]
\[\Rightarrow{d_1} \cap [Q] = B[ - 6; - 2; - 7]\]
Tương tự, gọi [R] là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \[\overrightarrow {{n_R}} = [ - 1;4; - 1]\]
Phương trình của [R] là \[ x + 4y z 5 = 0.\]
Suy ra\[d \cap [R] = A[6;4;5]\]
Bài 3.55 trang 132 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M[1; -3; 2] và vuông góc với hai mặt phẳng [Q]: 2x y +3z + 1 = 0 và [R]: x 2y z + 8 = 0
Hướng dẫn làm bài:
Chọn:
\[\eqalign{& \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \wedge \overrightarrow {{n_R}} \cr & = \left[ {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } & {\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{2 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{2 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } \cr} } \right|} \right] = \left[ {7;5; - 3} \right] \cr} \]
Phương trình của [P] là:
\[7[x 1] + 5[y +3] 3[z 2] = 0\]
Hay \[7x + 5y 3z +14 = 0\]
Bài 3.56 trang 132 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M0[x0;y0; z0] và M1[x1, y1, z1]
Hướng dẫn làm bài
Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương\[\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \]
Do đó phương trình tham số của d là:
\[\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + [{x_1} - {x_0}]t} \cr {y = {y_0} + [{y_1} - {y_0}]t} \cr {z = {z_0} + [{z_1} - {z_0}]t} \cr} } \right.\]
Bài 3.57 trang 132 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0[x0, y0, z0] và vuông góc với mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0.
Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương\[\overrightarrow {{n_P}} [A;B;C]\]
Do đó phương trình tham số của d là: \[\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + At} \cr {y = {y_0} + Bt} \cr {z = {z_0} + Ct} \cr} } \right.\]