Bài 3.58 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳngd: x - 2y + 3 = 0.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.17]
\[\eqalign{
& A \in Ox\,,\,B \in Oy \cr
& \Rightarrow A\left[ {a;0} \right],B\left[ {0;b} \right],AB = \left[ { - a;b} \right]. \cr} \]
Vectơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = \left[ {2;1} \right]\]
Tọa độ trung điểm I của AB là \[\left[ {{a \over 2};{b \over 2}} \right]\].
A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
I \in d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2a + b = 0 \hfill \cr
{a \over 2} - b + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 4. \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A\left[ {2;0} \right],B\left[ {0;4} \right].\]
Bài 3.59 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[0;2], B[-2;-2] và C[4;-2]. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.18]
Ta có \[M\left[ { - 1;0} \right],N\left[ {1; - 2} \right],AC = \left[ {4; - 4} \right]\]
Giả sử H[x;y]. Ta có :
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \hfill \cr
H \in AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4[x + 2] - 4[y + 2] = 0 \hfill \cr
4x + 4[y - 2] = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left[ {1;1} \right]. \cr} \]
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
\[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,[1].\]
Thay tọa độ của M, N, H vào [1] ta có hệ điều kiện :
\[\left\{ \matrix{
2a - c = 1 \hfill \cr
2a - 4b + c = - 5 \hfill \cr
2a + 2b + c = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - {1 \over 2} \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = - 2. \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
\[{x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\]
Bài 3.60 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A[ 2;2] và các đường thẳng
\[{d_1}:x + y - 2 = 0\]; \[{d_2}:x + y - 8 = 0\]
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc \[{d_1}\] và \[{d_2}\] sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Gợi ý làm bài
[xem hình 3.19]
Vì \[B \in {d_1},C \in {d_2}\] nên \[B\left[ {b;2 - b} \right],C\left[ {c;8 - c} \right].\]
Tam giác ABC vuông cân tại A
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr
AB = AC \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
bc - 4b - c + 2 = 0 \hfill \cr
{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
[b - 1][c - 4] = 2 \hfill \cr
{[b - 1]^2}{[c - 4]^2} = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Đặt x = b 1, y = c 4 ta có hệ :
\[\left\{ \matrix{
x.y = 2 \hfill \cr
{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
hoặc
\[\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1. \hfill \cr} \right.\]
Vậy B[-1 ; 3], C[3 ; 5] hoặc B[3 ; -1], C[5;3]
Bài 3.61 trang 164 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} = 9\] và đường thẳngd: 3x - 4y + m = 0.Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới [C] [A, B là các tiếp điểm] sao cho tam giác PAB đều.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.20]
[C] có tâm I[1 ; -2] và bán kính R = 3. Ta có tam giác PAB đều thì \[IP = 2IA = 2R = 6 \Leftrightarrow P\] thuộc đường tròn [C ] có tâm I, bán kính R'=6.
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với [C ] tại P \[\Leftrightarrow d[I,d] = 6\]
\[ \Leftrightarrow m = 19,\,\,m = - 41.\]