Bài 3.66 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A[2; 0; 0], B[0; 1; 0],\[S[0;0;2\sqrt 2 ]\]. Gọi M là trung điểm cạnh SC.
a] Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.
b] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Hướng dẫn làm bài
a] Ta có C[-2; 0; 0] và \[M[ - 1;0;\sqrt 2 ]\]
Gọi \[[\alpha ]\] là mặt phẳng chứa SA và song song với BM. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \[[\alpha ]\] là \[\overrightarrow {SA} = [2;0; - 2\sqrt 2 ]\] và \[\overrightarrow {BM} = [ - 1; - 1;\sqrt 2 ]\]
Suy ra vecto pháp tuyến của\[[\alpha ]\] là : \[\overrightarrow n = [ - 2\sqrt 2 ;0; - 2]\]hay \[\overrightarrow n ' = [\sqrt 2 ;0;1]\]
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]có phương trình: \[\sqrt 2 [x - 2] + z = 0\] hay \[\sqrt 2 x + z - 2\sqrt 2 = 0\]
b] Ta có\[d\left[ {SA,{\rm{ }}BM} \right]{\rm{ }} = d[B;[\alpha ]] = {{| - 2\sqrt 2 |} \over {\sqrt {2 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\]
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là \[{{2\sqrt 6 } \over 3}\].
Bài 3.67 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho mặt phẳng [P]: 2x 3y + 4z 5 = 0 và mặt cầu [S]:
x2+ y2+ z2+ 3x + 4y 5z + 6 = 0
a] Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu [S].
b] Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P]. Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng [P] cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn mà ta kí hiệu là [C]. Xác định bán kính r và tâm H của đường tròn [C] .
Hướng dẫn làm bài:
a] [S] có tâm \[I[ - {3 \over 2}; - 2;{5 \over 2}]\]và có bán kính\[r = \sqrt {{9 \over 4} + 4 + {{25} \over 4} - 6} = {{\sqrt {26} } \over 2}\]
b]\[d[I,[P]] = {{|2.[ - {3 \over 2}] - 3.[ - 2] + 4.[{5 \over 2}] - 5|} \over {\sqrt {4 + 9 + 16} }} = {8 \over {\sqrt {29} }} < {{\sqrt {26} } \over 2}\]
Vậy d[I, [P]] < r
Suy ra mặt phẳng [P] cắt mặt cầu [S] theo đường tròn tâm H bán kính r.
H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng [P]. Gọi \[\Delta \]là đường thẳng qua I và vuông góc với [P]. Ta có vecto chỉ phương của \[\Delta \]là
\[\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{[P]}}} = [2; - 3;4]\]
Phương trình tham số của \[\Delta \]: \[\left\{ {\matrix{{x = - {3 \over 2} + 2t} \cr {y = - 2 - 3t} \cr {z = {5 \over 2} + 4t} \cr} } \right.\]
\[\Delta \]cắt [P] tại \[H[ - {3 \over 2} + 2t; - 2 - 3t;{5 \over 2} + 4t]\]. Ta có:
\[H \in [\alpha ] \Leftrightarrow2[ - {3 \over 2} + 2t] - 3[ - 2 - 3t] + 4[{5 \over 2} + 4t] - 5 = 0\]
\[ \Leftrightarrow29t + 8 = 0 \Leftrightarrowt = - {8 \over {29}}\]
Suy ra tọa độ \[H[ - {3 \over 2} - {{16} \over {29}}; - 2 + {{24} \over {29}};{5 \over 2} - {{32} \over {29}}]\] hay
Ta có\[r{'^2} = {r^2} - {d^2}[I,[P]] = {{26} \over 4} - {{64} \over {29}} = {{249} \over {58}}\]. Suy ra\[r' = \sqrt {{{249} \over {58}}} \]
Bài 3.68 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A[6; -2; 3], B[0; 1; 6], C[2; 0 ; -1], D[4; 1; 0]. Gọi [S] là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tại điểm A.
Hướng dẫn làm bài:
Tâm I[x, y, z] của [S] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ {\matrix{{I{A^2} = I{B^2}} \cr {I{A^2} = I{C^2}} \cr {I{A^2} = I{D^2}} \cr} } \right. \]
\[\Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{{{[x - 6]}^2} + {{[y + 2]}^2} + {{[z - 3]}^2} = {x^2} + {{[y - 1]}^2} + {{[z - 6]}^2}} \cr {{{[x - 6]}^2} + {{[y + 2]}^2} + {{[z - 3]}^2} = {{[x - 2]}^2} + {y^2} + {{[z + 1]}^2}} \cr {{{[x - 6]}^2} + {{[y + 2]}^2} + {{[z - 3]}^2} = {{[x - 4]}^2} + {{[y - 1]}^2} + {z^2}} \cr} } \right.\]
\[ \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{12x - 6y - 6z = 12} \cr {8x - 4y + 8z = 44} \cr {4x - 6y + 6z = 32} \cr} } \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - y - z = 2} \cr {2x - y + 2z = 11} \cr {2x - 3y + 3z = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {y = - 1} \cr {z = 3} \cr} } \right.\]
Vậy mặt cầu [S] có tâm I[2; -1; 3].
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]tiếp xúc với [S] tại A nên \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow {IA} = [4; - 1;0]\]
Phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]là
\[4[x 6] [y +2] = 0\] hay \[4x y 26 = 0.\]