Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] trong mỗi trường hợp sau
a] [H] có một tiêu điểm là [5, 0] và độ dài trục thực bằng 8;
b] [H] có tiêu cự bằng \[2\sqrt 3 \], một đường tiệm cận là \[y = {2 \over 3}x;\]
c] [H] có tâm sai \[e = \sqrt 5 \] và đi qua điểm \[[\sqrt {10} ;6].\]
Giải
a] Ta có: \[c = 5,a = 4 \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9 \Rightarrow b = 3\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1.\]
b] Ta có: \[c = \sqrt 3 ;{b \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {{2a} \over 3}\]
\[{c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \over 9} = 3\]
\[\Rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};{b^2} = 3 - {{27} \over {13}} = {{12} \over {13}}.\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} - {{{y^2}} \over {{{12} \over {13}}}} = 1.\]
c] Ta có: \[e = {c \over a} = \sqrt 5 \Rightarrow {c^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\,[1]\]
Giả sử: \[[H]:{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]
Vì \[M\left[ {\sqrt {10} ;6} \right] \in [H]\]nên: \[{{10} \over {{a^2}}} - {{36} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,[2]\]
Thay [1] vào [2] ta được: \[40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}\left[ {4{a^2}} \right] \Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over 1} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\]
Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Giải
Giả sử [H] có phương trình chính tắc là: \[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]
Phương trình tiệm cận của [H] là: \[{d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\]
\[{d_2}:y = - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\]
Gọi \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \in [H]\]ta có: \[{{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\]
Ta có: \[d\left[ {M,{d_1}} \right].d\left[ {M,{d_2}} \right] = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \]
\[= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\]không đổi
Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \[{F_1}\left[ { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right];\,{F_2}\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\] Chứng minh rằng với mỗi điểm M[x, y] nằm trên đồ thị hàm số \[y = {1 \over x},\]ta đều có
\[M{F_1}^2 = {\left[ {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2};M{F_2}^2 = {\left[ {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2}.\]
Từ đó suy ra \[|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\]
Giải
Giả sử: \[M\left[ {x;y} \right] \in \left[ H \right]:\,y = {1 \over x}\]ta có:
\[\eqalign{
& M{F_1^2} = {\left[ {x + \sqrt 2 } \right]^2} + {\left[ {{1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {x^2} + 2\sqrt 2 .x + 2 + {1 \over {{x^2}}} + 2\sqrt 2 .{1 \over x} + 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + 2} \right] + 2\sqrt 2 \left[ {x + {1 \over x}} \right] + 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ {{x^2} + {1 \over x}} \right]^2} + 2\left[ {x + {1 \over x}} \right].\sqrt 2 + {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2} \cr
& M{F_2}^2 = {\left[ {x - \sqrt 2 } \right]^2} + {\left[ {{1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= {\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 2\sqrt 2 \left[ {x + {1 \over x}} \right] + 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2} \cr} \]
Từ đó suy ra:
+] Với x > 0 thì \[x + {1 \over x} \ge 2\][theo bất đẳng thức cô si]
Khi đó: \[M{F_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;M{F_2} = x + {1 \over x} - \sqrt 2 \]
\[\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = 2\sqrt 2 .\]
+] Với x < 0 thì\[\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} \ge 2 \Rightarrow x + {1 \over x} \le - 2\]
Khi đó: \[M{F_1} = - x - {1 \over x} - \sqrt 2 ;M{F_2} = - x - {1 \over x} + \sqrt 2\]
\[ \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = - 2\sqrt 2 \]
Vậy \[|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\]