Bài 4 trang 29 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho các hàm số
\[f[x] = {x^2} + 2 + \sqrt {2 - x} ;g[x] = - 2{x^3} - 3x + 5\];
\[u[x] = \left\{ \matrix{
\sqrt {3 - x} ,x < 2 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 4} ,x \ge 2 \hfill \cr} \right.\];
\[v[x] = \left\{ \matrix{
\sqrt {6 - x} ,x \le 0 \hfill \cr
{x^2} + 1,x > 0 \hfill \cr} \right.\]
Tính các giá trị
\[f[ - 2] - f[1];g[3];f[ - 7] - g[ - 7];f[ - 1] - u[ - 1];u[3] - v[3];v[0] - g[0];{{f[2] - f[ - 2]} \over {v[2] - v[ - 3]}}\]
Gợi ý làm bài
\[f[ - 2] - f[ - 1] = {[ - 2]^2} + 2 + \sqrt {2 + 2} - [{1^2} + 2 + \sqrt {2 - 1} ] = 8 - 4 = 4\];
\[g[3] = - {2.3^3} - 3.3 + 5 = - 58\];
\[f[ - 7] - g[ - 7] = {[ - 7]^2} + 2 + \sqrt {2 + 7} - {\rm{[}} - 2.{[ - 7]^3} - 3.[ - 7] + 5] = - 658\];
\[f[ - 1] - u[ - 1] = 3 + \sqrt 3 - 2 = 1 + \sqrt 3 \];
\[u[3] - v[3] = \sqrt {9 - 4} - [9 + 1] = \sqrt 5 - 10\];
\[v[0] - g[0] = \sqrt 6 - 5\];
\[{{f[2] - f[ - 2]} \over {v[2] - v[ - 3]}} = {{6 - 8} \over {5 - 3}} = - 1\]
Bài 5 trang 30 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng
a] \[y = - 2x + 3\] trên R
b] \[y = {x^2} + 10x + 9\] trên \[[ - 5; + \infty ]\]
c] \[y = - {1 \over {x + 1}}\] trên [-3; -2]và[2; 3].
Gợi ý làm bài
a] \[\forall {x_1},{x_2} \in R\] ta có:
\[f[{x_1}] - f[{x_2}] = - 2{x_1} + 3 - [ - 2{x_2} + 3] = - 2[{x_1} - {x_2}]\]
Ta thấy \[{x_1} > {x_2}\] thì \[2[{x_1} - {x_2}] < 0\] tức là:
\[f[{x_1}] - f[{x_2}] < 0 \Leftrightarrow f[{x_1}] < f[{x_2}]\]
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.
b] \[\forall {x_1},{x_2} \in R\], ta có
\[f[{x_1}] - f[{x_2}] = x_1^2 + 10{x_1} + 9 - x_2^2 - 10{x_2} - 9\]
= \[[{x_1} - {x_2}][{x_1} + {x_2}] + 10[{x_1} - {x_2}]\]
= \[[{x_1} - {x_2}][{x_1} + {x_2} + 10]\] [*]
\[\forall {x_1},{x_2} \in [ - 5; + \infty ]\] và \[{x_1} < {x_2}\] ta có \[{x_1} - {x_2} < 0\] và \[{x_1} + {x_2} + 10 > 0\] vì
\[{x_1} > - 5;{x_2} > - 5 = > {x_1} + {x_2} > - 10\]
Vậy từ [*] suy ra \[f[{x_1}] - f[{x_2}] < 0 \Leftrightarrow f[{x_1}] < f[{x_2}]\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ - 5; + \infty ]\]
c] \[\forall {x_1},{x_2} \in [ - 3; - 2]\] và \[{x_1} < {x_2}\], ta có
\[{x_1} - {x_2} < 0;{x_1} + 1 < - 2 + 1 < 0;{x_2} + 1 < - 2 + 1 < 0 = > [{x_1} + 1][{x_2} + 1] > 0\]. Vậy
\[f[{x_1}] - f[{x_2}] = - {1 \over {{x_1} + 1}} + {1 \over {{x_2} + 1}} = {{{x_1} - {x_2}} \over {[{x_1} + 1][{x_2} + 1]}} < 0 \Leftrightarrow f[{x_1}] < f[{x_2}]\]
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng [-3; -2]
\[\forall {x_1},{x_2} \in [ - 3; - 2]\] và \[{x_1} < {x_2}\] ,tương tự ta cũng có \[f[{x_1}] < f[{x_2}]\]
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [2;3].
Bài 6 trang 30 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a] y= -2;
b] \[y = 3{x^2} - 1\]
c] \[y = - {x^4} + 3x - 2\]
d] \[y = {{ - {x^4} + {x^2} + 1} \over x}\]
Gợi ý làm bài
a] Tập xác định D = R và \[\forall x \in D\] có \[ - x \in D\] và \[f[ - x] = - 2 = f[x]\]
Hàm số là hàm số chẵn.
b]b]Tập xác định D = R; \[\forall x \in D\] có \[ - x \in D\] và \[f[ - x] = 3.{[ - x]^2} - 1 = 3{x^2} - 1 = f[x]\]
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c]Tập xác định D = R, nhưng \[f[1] = - 1 + 3 - 2 = 0\] còn \[f[ - 11] = - 1 - 3 - 2 = - 6\] nên \[f[ - 1] \ne f[1]\] và \[f[ - 1] \ne - f[1]\]
Vậy hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
d]Tập xác định D = R\{0} nên nếu \[x \ne 0\] và \[x \in D\] thì \[- x \in D\] . Ngoài ra
\[f[ - x] = {{ - {{[ - x]}^4} + {{[ - x]}^2} + 1} \over { - x}} = {{ - {x^4} + {x^2} + 1} \over { - x}} = {{ - {x^4} + {x^2} + 1} \over x} = - f[x]\] .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.