Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a] \[{x^3}-3{x^2} + 5 = 0\];
b] \[- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\];
c] \[2{x^2}-{x^4} = - 1\].
Giải:
a] Xét hàm số \[y ={x^3}-3{x^2} + 5\].
Tập xác định : \[\mathbb R\].
* Sự biến thiên:
\[y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]\]; \[y' = 0 x = 0,x = 2\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;0]\] và \[[2;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[0;2]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=5\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2\]; \[y_{CT}=1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;5]\]
Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số \[y ={x^3}-3{x^2} + 5\] và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Xét hàm số \[y =- 2{x^3} + 3{x^2}\].
Tập xác định : \[\mathbb R\].
Sự biến thiên:
\[y'= - 6{x^{2 + }}6x= -6x[x - 1]; y' = 0 x = 0,x = 1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;0]\] và \[[1;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[0;1]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=0\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số \[y =- 2{x^3} + 3{x^2}\]với đường thẳng \[y=2\]. Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
c] Xét hàm số \[y = f[x] =2{x^2}-{x^4}\]
Tập xác định : \[\mathbb R\].
Sự biến thiên:
\[y' = 4x -4{x^{3}} = 4x[1- {x^2}]\]; \[y' = 0 x = 0,x = ±1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[0;1]\], nghịch biến trên khoảng \[[-1;0]\] và\[[1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1\]; \[y_{CĐ}=1\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=0\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số \[y = f[x] =2{x^2}-{x^4}\]và đường thẳng \[y = -1\], từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số
\[y =-x^3+3x + 1\].
b] Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \[m\].
\[x^3- 3x + m = 0\].
Giải:
a] Xét hàm số \[y =-x^3+3x + 1\].
Tập xác định : \[\mathbb R\].
* Sự biến thiên:
\[y' = -3x^2+3 = -3[x^2-1]\]; \[y' = 0 x = -1,x = 1\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1;1]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[1;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\]; \[y_{CĐ}=3\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[I[0;1]\] và nhận \[I\] làm tâm đối xứng.
b]\[x^3- 3x + m = 0\]\[-x^3+3x+ 1 = m + 1\] [1]. Số nghiệm của [1] chính là số giao điểm của đồ thị hàm số [C] với đường thẳng [d] : \[y = m + 1\].
Từ đồ thị ta thấy :
+] \[m + 1 < -1 m < -2 \]: [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.
+] \[m + 1 = -1 m = -2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm và tiếp xúc với [C] tại 1 điểm, [1] có 2 nghiệm.
+] \[-1 3 m > 2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.
Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\].
a] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \[m\], hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b] Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \[A[-1 ; \sqrt2]\].
c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 2\].
Giải:
a]\[y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\].
Tập xác định: \[\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\];
\[y' = {{{m^2} + 2} \over {{{[2x + m]}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\]
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b] Tiệm cận đứng \[\] : \[x = - {m \over 2}\].
\[A[-1 ; \sqrt2]\] \[- {m \over 2}= -1 m = 2\].
c] \[m = 2\] thì hàm số đã cho có phương trình là:
\[y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\].
Tập xác đinh: \[D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \]
* Sự biến thiên:
\[y' = {6 \over {{{[2x + 2]}^2}}} > 0\forall x \in D\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[-1;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \]
Tiệm cận đứng là \[x=-1\], tiệm cận ngang là: \[y=1\]
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \[Ox\] tại điểm \[[{1\over 2};0]\], giao \[Oy\] tại điểm \[[0;{-1\over 2}]\].
Đồ thị hàm số nhận điểm \[I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.