Bài 4 trang 10 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số \[y=\sqrt {2x - {x^2}}\]đồng biến trên khoảng \[[0 ; 1]\] và nghịch biến trên các khoảng \[[1 ; 2]\].
Giải:
Tập xác định : \[D = [0 ; 2]\]; \[y' = \frac{1-x}{^{\sqrt{2x-x^{2}}}}\], \[\forall x \in [0;2]\]; \[y' = 0 \]\[\Leftrightarrow x=1\]
Bảng biến thiên :
Vậy hàm sốđồng biến trên khoảng \[[0 ; 1]\] và nghịch biến trên khoảng \[[1 ; 2]\].
Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a] \[tanx > x\] \[[0 < x < \frac{\pi }{2}]\];
b] \[tanx > x + \frac{x^{3}}{3} [0 < x < \frac{\pi }{2}]\].
Giải:
a] Xét hàm số \[y = f[x] = tanx x\] với \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\].
Ta có : \[y\] = \[\frac{1}{cos^{2}x} - 1 0\], \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\]; \[y = 0 x = 0\]. Vậy hàm số luôn đồng biến trên \[[0 ; \frac{\pi }{2}]\].
Từ đó \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\] thì \[f[x] > f[0]\]
\[ tanx x > tan0 0 = 0\] hay \[tanx > x\].
b] Xét hàm số \[y = g[x] = tanx x\] - \[\frac{x^{3}}{3}\]. với \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\].
Ta có : \[y = \frac{1}{cos^{2}x} - 1 -x^2\]=\[1 + {\tan ^2}x - 1 - {x^2} = [ta{n^2}x - {x^2}]\]
= \[[tanx - x][tanx + x]\], \[x [0 ;\frac{\pi }{2} ]\].
Vì \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\] nên \[tanx +x 0\] và \[tanx - x >0\] [theo câu a].
Do đó \[y' 0,x [0 ;\frac{\pi }{2}]\].
Dễ thấy \[y' = 0 x = 0\]. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ;\[\frac{\pi }{2}\]]. Từ đó : \[x [0 ; \frac{\pi }{2}]\] thì \[g[x] > g[0] \]\[tanx x - \frac{x^{3}}{3}\] \[> tan0 - 0 - 0 = 0\] hay \[ tanx > x + \frac{x^{3}}{3}\].