Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a] \[y = 2x\left[ {1 - {x^{ - 3}}} \right];\] b] \[y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\]
c] \[y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left[ {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right];\] d] \[y = {{\sin \left[ {2x + 1} \right]} \over {{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}};\]
Giải
a] \[\int {2x\left[ {1 - {x^{ - 3}}} \right]} dx = \int {\left[ {2x - 2{x^{ - 2}}} \right]dx }\]
\[= {x^2} + {2 \over x} + C\]
b] \[\int {\left[ {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right]dx = } \int {\left[ {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right]} dx\]
\[= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\]
c] Đặt
\[\eqalign{
& u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr
& \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left[ {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right]dx = {2 \over 3}\int {\sin udu} }\cr&= - {2 \over 3}\cos u + C = - {2 \over 3}\cos \left[ {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right] + C\cr} \]
d] Đặt \[u = \cos \left[ {2x + 1} \right] \Rightarrow du = - 2\sin \left[ {2x + 1} \right]dx \]
\[\Rightarrow \sin \left[ {2x + 1} \right]dx = - {1 \over 2}du\]
Do đó \[\int {{{\sin \left[ {2x + 1} \right]} \over {{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}}} dx = - {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}}} + C\]
\[= {1 \over {2\cos \left[ {2x + 1} \right]}} + C\]
Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a] \[y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left[ {{1 \over x} - 1} \right]\]; b] \[y = {x^3}{\left[ {1 + {x^4}} \right]^3}\];
c] \[y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\]; d] \[y = {x^2}{e^x}\].
Giải
a] Đặt \[u = {1 \over x} - 1 \Rightarrow du = - {1 \over {{x^2}}}dx \Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} = - du\]
Do đó \[\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left[ {{1 \over x} - 1} \right]dx = - \int {\cos udu }\]
\[= - \sin u + C = - \sin \left[ {{1 \over x} - 1} \right] + C\]
b] Đặt \[u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}\]
\[\int {{x^3}{{\left[ {1 + {x^4}} \right]}^3}dx = {1 \over 4}\int {{u^3}du = {{{u^4}} \over {16}} + C} } \]
\[= {1 \over {16}} {\left[ {1 + {x^4}} \right]^4} + C\]
c] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x \over 3} \hfill \cr
dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over 3}dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.\]
Suy ra: \[\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}dx = {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx} } \]
\[= {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over {12}}{e^{2x}} + C \]
d] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} } \] [1]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
Do đó: \[\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx = x{e^x} - {e^x} + C} } \]
Từ [1] suy ra \[\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C} \]
\[= {e^x}\left[ {{x^2} - 2x + 2} \right] + C\]
Bài 43 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a] \[y = x{e^{ - x}}\]; b] \[y = {{\ln x} \over x}\].
Giải
a] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - {e^{ - x}} \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[\int {x{e^{ - x}}dx = - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} }\]
\[= - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C = - {e^{ - x}}\left[ {x + 1} \right] + C \]
b] Đặt \[u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\]
Do đó \[\int {{{\ln x} \over x}} dx = \int {udu = {{{u^2}} \over 2}} + C = {{{{[\ln x]}^2}} \over 2} + C\]
Bài 44 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm hàm số \[y = f[x]\]nếu biết \[dy = 12x{\left[ {3{x^2} - 1} \right]^3}dx\]và \[f[1] = 3\].
Giải
Ta có \[y = f\left[ x \right] = \int {dy = 12\int {x{{\left[ {3{x^2} - 1} \right]}^3}dx} } \]
Đặt \[u = 3{x^2} - 1 \Rightarrow du = 6xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 6}\]
Do đó \[f\left[ x \right] = 2\int {{u^3}} du = {{{u^4}} \over 2} + C = {1 \over 2}{\left[ {3{x^2} - 1} \right]^4} + C\]
Vì \[f\left[ 1 \right] = 3\] nên \[{1 \over 2}{2^4} + C = 3 \Rightarrow C = - 5\]
Vậy \[f\left[ x \right] = {1 \over 2}{\left[ {3{x^2} - 1} \right]^4} - 5\]