Câu 48 trang 60 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình trùng phương:
a] \[{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\]
b] \[{y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\]
c] \[{z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\]
d] \[36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\]
e] \[{1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\]
f] \[\sqrt 3 {x^4} - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]{x^2} - 2 = 0\]
Giải
a] \[{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\]đặt \[{x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình: \[{t^2} - 8t - 9 = 0\]có dạng \[a - b + c = 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& 1 - \left[ { - 8} \right] + \left[ { - 9} \right] = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 9} \over 1} = 9 \cr} \]
\[{t_1} = - 1 < 0\]loại
\[\Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \[{x_1} = 3;{x_2} = - 3\]
b] \[{y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\]đặt \[{y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình: \[{t^2} - 1,16t + 0,16 = 0\]
Phương trình có dạng: \[a + b + c = 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& 1 + \left[ { - 1,16} \right] + 0,16 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \]
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \[{y_1} = 1;{y_2} = - 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = - 0,4\]
c] \[{z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\]đặt \[{z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình: \[{t^2} - 7t - 144 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 7} \right]^2} - 4.1.\left[ { - 144} \right] = 49 + 576 = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr
& {t_2} = {{7 - 25} \over {2.1}} = - 9 \cr} \]
\[{t_2} = - 9 < 0\]loại
\[\Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{z_1} = 4;{z_2} = - 4\]
d] \[36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\]đặt\[{t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\]
Ta có phương trình:\[36{u^2} - 13u + 1 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 13} \right]^2} - 4.36.1 = 169 - 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr
& {u_2} = {{13 - 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \]
Vậy phương trình có 4 nghiệm:\[{x_1} = {1 \over 2};{x_2} = - {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = - {1 \over 3}\]
e]
\[\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \]
Đặt\[{x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:\[2{t^2} - 3t + 1 = 0\]
Phương trình có dạng:\[a + b + c = 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& 2 + \left[ { - 3} \right] + 1 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình có 4 nghiệm:\[{x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = - {{\sqrt 2 } \over 2}\]
f] \[\sqrt 3 {x^4} - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]{x^2} - 2 = 0\]đặt\[{x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:\[\sqrt 3 {t^2} - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]t - 2 = 0\]
Phương trình có dạng:\[a - b + c = 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt 3 - \left[ { - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \right] + \left[ { - 2} \right] \cr
& = \sqrt 3 - \left[ {\sqrt 3 - 2} \right] + \left[ { - 2} \right] \cr
& = \sqrt 3 - \sqrt 3 + 2 - 2 = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]
\[{t_1} = - 1 < 0\]loại
\[{x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\]
Phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = - {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\]
Câu 49 trang 60 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Giải
Phương trình: \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]đặt\[{x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:\[a{t^2} + bt + c = 0\]
Vì a và c trái dấu ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1và t2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[{t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\]nên t1và t2trái dấu.
Giả sử t1< 0; t2> 0. Vì t 0 t1< 0 loại
\[\Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \]
Vậy phương trình trùng phương: \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]có hệ số a và c trái dấu thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm đối nhau.
Câu 50 trang 60 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
a]\[{\left[ {4x - 5} \right]^2} - 6\left[ {4x - 5} \right] + 8 = 0\]
b]\[{\left[ {{x^2} + 3x - 1} \right]^2} + 2\left[ {{x^2} + 3x - 1} \right] - 8 = 0\]
c]\[{\left[ {2{x^2} + x - 2} \right]^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\]
d]\[\left[ {{x^2} - 3x + 4} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] = 3\]
e]\[{{2{x^2}} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\]
f]\[x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\]
Giải
a] \[{\left[ {4x - 5} \right]^2} - 6\left[ {4x - 5} \right] + 8 = 0\]đặt \[4x - 5 = t,\]ta có phương trình:
\[\eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 3} \right]^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr
& {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \]
Suy ra:
\[\left[ {\matrix{
{4x - 5 = 4} \cr
{4x - 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\]
Phương trình có 2 nghiệm:\[{x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\]
b] \[{\left[ {{x^2} + 3x - 1} \right]^2} + 2\left[ {{x^2} + 3x - 1} \right] - 8 = 0\]đặt\[{x^2} + 3x - 1 = t\]
Ta có phương trình:\[{t^2} + 2t - 8 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left[ { - 8} \right] = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \]
Với t1= 2 ta có:\[{x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = 9 - 4.1.\left[ { - 3} \right] = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr
& {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \]
Với t2= -4 ta có:\[{x^2} + 3x - 1 = - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\]
\[\Delta = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 = - 3 < 0\]
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} = - 3 - \sqrt {21} \]
c]
\[\eqalign{
& {\left[ {2{x^2} + x - 2} \right]^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {2{x^2} + x - 2} \right]^2} + 5\left[ {2{x^2} + x - 2} \right] - 6 = 0 \cr} \]
Đặt\[2{x^2} + x - 2 = t\]
Ta có phương trình: \[{t^2} + 5t - 6 = 0\]có dạng:
\[\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left[ { - 6} \right] = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \]
Với t1= 1 ta có: \[2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\]có dạng:\[a + b + c = 0\]
\[2 + 1 + \left[ { - 3} \right] = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\]
Với t2= -6 ta có:\[2{x^2} + x - 2 = - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\]
\[\Delta = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 = - 31 < 0\]
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm:\[{x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\]
d]
\[\eqalign{
& \left[ {{x^2} - 3x + 4} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] = 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] + 2} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] = 3 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right]^2} + 2\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right] - 3 = 0 \cr} \]
Đặt\[{x^2} - 3x + 2 = t\]
Ta có phương trình: \[{t^2} + 2t - 3 = 0\]có dạng:
\[\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left[ { - 3} \right] = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \]
Với t1= 1 ta có:\[{x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \]
Với t2= -3 ta có:\[{x^2} - 3x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\]
\[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.1.5 = 9 - 20 = - 11 < 0\]
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm:\[{x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]
e]
\[\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\left[ {{x \over {x + 1}}} \right]^2} - 5\left[ {{x \over {x + 1}}} \right] + 3 = 0 \cr} \]
Đặt \[{x \over {x + 1}} = t,\]ta có phương trình:\[2{t^2} - 5t + 3 = 0\]
\[2{t^2} - 5t + 3 = 0\]có dạng:\[a + b + c = 0;2 + \left[ { - 5} \right] + 3 = 0\]
\[{t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\]
Với \[{t_1} = 1\]ta có: \[{x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\]vô nghiệm
Với t2= \[{3 \over 2}\]ta có:\[{x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x = - 3\]
x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3
f] \[x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\]điều kiện: x 1
\[\Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right] - \sqrt {x - 1} - 2 = 0\]đặt\[\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình: \[{t^2} - t - 2 = 0\]có dạng:\[a - b + c = 0\]
\[\eqalign{
& 1 - \left[ { - 1} \right] + \left[ { - 2} \right] = 1 + 1 - 2 = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \]
\[{t_1} = - 1 < 0\]loại
Với \[{t_2} = 2\]ta có:\[\sqrt {x - 1} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\]
x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5