Câu 49 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.
Giải
ABC cân tại A.
DB = DC [gt]
Nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của góc BAC.
\[\eqalign{
& DE \bot AB\left[ {gt} \right] \cr
& DF \bot {\rm{A}}C\left[ {gt} \right] \cr} \]
Suy ra: DE = DF [tính chất đường phân giác của góc].
Câu 50 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có Â = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính \[\widehat {BIC}\].
Giải
Trong ABC ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\][vì BD là tia phân giác]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\][vì CE là tia phân giác]
Trong BIC ta có:
\[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \][tổng 3 góc trong tam giác]
\[\Rightarrow \widehat {BIC} = 180 - [\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}]\]
\[\widehat {BIC} = 180^\circ - {1 \over 2}[\widehat B + \widehat C] = 180^\circ - {1 \over 2}.110^\circ = 125^\circ \]
Câu 51 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CB cắt nhau tại I trong đó góc BIG bằng:
a] 120°
b] [ > 90°]
Giải
Trong BIC ta có: \[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \][tổng 3 góc trong tam giác]
\[\Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\][Vì BD là tia phân giác]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\][Vì CE là tia phân giác]
\[\Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left[ {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right] = 2.60^\circ = 120^\circ \]
Trong ABC ta có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - [\widehat B + \widehat C] = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Câu 52 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Kẻ \[IH \bot AB,IJ \bot BC,IG \bot AC\],
\[KD \bot AB,KE \bot AC,KF \bot BC\]
I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow \]IH = IG [tính chất tia phân giác]
I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BCA}\]
\[ \Rightarrow \]IG = IJ [tính chất tia phân giác]
Suy ra: IH = IJ
Nên I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [1]
K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow \]KD = KE [tính chất tia phân giác]
K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ACF}\]
\[ \Rightarrow \]KE = KF [tính chất tia phân giác]
Suy ra: KD = KF => K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: B, I, K thẳng hàng
Câu 53 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
a] Chứng minh rằng AD = AE.
b] Tính các dộ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.
Giải
a] I là giao điểm phân giác trong của \[\widehat B\]và \[\widehat C\]nên AI là tia phân giác của Â.
\[ \Rightarrow \]ID = IE [tính chất tia phân giác] [1]
ADI vuông tại D có \[\widehat {DAI} = 45^\circ \]
Nên ADI vuông cân tại D.
\[ \Rightarrow \]ID = DA [2]
AEI vuông tại E có \[\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \]
Nên AEI vuông cân tại E
\[ \Rightarrow \]IE = AE [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AD = AE
b] Trong tam giác vuông ABC có Â=90°
Theo định lý Pitago ta có:
\[\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \]
\[ \Rightarrow \]BC = 10 [cm]
Kẻ \[IF \bot BC\]
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB:
\[\eqalign{
& \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
Cạnh huyền BI chung
Do đó: IDB = IFB [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \]DB = FB [4]
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC:
\[\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
Cạnh huyền CI chung
Do đó: IEC = IFC [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \]CE = CF [5]
AD + AE = AB DB + AC CE
\[ \Rightarrow \]AD + AE = AB + AC [DB + CF] [6]
Từ [4], [5] và [6] suy ra:
AD + AE = AB + AC [FB + FC] = AB + AC BC
AD + AE = 6 + 8 10 = 4 [cm]
Mà AD = AE [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \]AD = AE = 4: 2 = 2 [cm]