Câu 3.1 trang 160 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1-
a. Có thể dùng kéo cắt hai lần và chỉ cắt theo đường thẳng chia một tam giác [thường] thành ba mảnh để ghép lại được một hình chữ nhật hay không ?
Từ đó suy ra công thức tính diện tích tam giác thường dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật.
b. Hãy chia một tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác đó.
c. Hãy chia một tam giác thành 4 phần có diện tích bằng nhau bởi ba đường thẳng, trong đó chỉ có một đường đi qua đỉnh của tam giác đó.
Giải:
a. Xét ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB.
Từ M kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại K
Từ N kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại L
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt hai đường thẳng MK và NL tại T và R
Ta có: MKC = MTA
NLB = NAR
Cắt ABC theo đường MK và NL ta ghép lại được một hình chữ nhật KTRL có diện tích bằng diện tích tam giác ABC
b.
Ta đã biết hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chung chiều cao thì có diện tích bằng nhau. Giả sử ABC. Gọi M là trung điểm của BC
Cắt tam giác ABC theo đường AM chia tam giác ABC ra hai phần có diện tích bằng nhau.
c.
Tương tự như trên câu b.
Xét ABC. Gọi M là trung điểm của BC
N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB
Cắt tam giác ABC theo đường AM ta có hai phần có diện tích bằng nhau
Cắt tam giác AMC theo đường AN ta có hai phần có diện tích bằng nhau
Cắt tam giác AMB theo đường MP ta có hai phần diện tích bằng nhau, ta có diện tích bốn phần chia bằng nhau.
Câu 3.2 trang 161 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác đều ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với CA tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với AB tại điểm T.
Giải:
Giả sử ABC đều có cạnh bằng a, kẻ đường cao AD, đặt AD = h không đổi.
Ta có:
\[\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}ah \cr & {S_{MAB}} = {1 \over 2}MT.a \cr & {S_{MAC}} = {1 \over 2}MK.a \cr & {S_{MBC}} = {1 \over 2}MH.a \cr & {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MAC}} + {S_{MBC}} \cr & {1 \over 2}a.h = {1 \over 2}MT.a + {1 \over 2}MK.a + {1 \over 2}MH.a \cr & = {1 \over 2}a.\left[ {MT + MK + MH} \right] \cr} \]
\[ \Rightarrow MT + MK + MH = h\] không đổi
Vậy tổng MT + MK + MH không phụ thuộc vào điểm M.
Câu 3.3 trang 161 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
a. Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S là diện tích của tam giác DBC.
Chứng minh rằng \[{{S'} \over S} = {{DK} \over {AH}}\]
b. Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T.
Chứng minh rằng \[{{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = 1\]
Giải:
a. Hai ABC và DBC có chung canh đáy BC nên ta có:
\[\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = S \cr & {S_{DBC}} = {1 \over 2}DK.BC = S' \cr} \]
Suy ra: \[{{S'} \over S} = {{{1 \over 2}DK.BC} \over {{1 \over 2}AH.BC}} = {{DK} \over {AH}}\]
b. Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S1, S2, S3. Ta có:
S = S1 +S2 +S3
Trong đó: S = \[{1 \over 2}\]AD. BC = \[{1 \over 2}\]BE. AC = \[{1 \over 2}\]CF . AB
\[\eqalign{ & {S_1} = {1 \over 2}MT.AB \cr & {S_2} = {1 \over 2}MK.AC \cr & {S_3} = {1 \over 2}MH.BC \cr & {{{S_1}} \over S} = {{{1 \over 2}MT.AB} \over {{1 \over 2}CF.AB}} = {{MT} \over {CF}} \cr & {{{S_2}} \over S} = {{{1 \over 2}MK.AC} \over {{1 \over 2}BE.AC}} = {{MK} \over {BE}} \cr & {{{S_3}} \over S} = {{{1 \over 2}MH.BC} \over {{1 \over 2}AD.BC}} = {{MH} \over {AD}} \cr & \Rightarrow {{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = {{{S_3}} \over S} + {{{S_2}} \over S} + {{{S_1}} \over S} = {{{S_1} + {S_2} + {S_3}} \over S} = {S \over S} = 1 \cr} \]