Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]
Đáp án
Với \[a > 0, b > 0\], ta có:
\[\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {[a + b]^2} \ge 4ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {[a - b]^2} \ge 0 \cr} \]
Ta thấy điều này luôn đúng
Vậy \[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]
Đẳng thức xảy ra khi \[a = b\]
Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a 0 và b 0 thì a3+ b3 ab[a + b]. Khi nào đẳng thức xảy ra?
Đáp án
Ta có:
a3+ b3 ab[a + b]
[a + b][a2- ab + b2] ab[a + b] 0
[a + b][a - b]2 0 [luôn đúng]
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
a] Chứng minh rằng a2+ ab + b2 0 với mọi số thực a, b.
b] Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 a3b + ab3
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {[a + {b \over 2}]^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \]
Ta thấy điều trên luôn đúng.
b] Ta có:
\[\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {a^3}[a - b] - {b^3}[a - b] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow [a - b][{a^3} - {b^3}] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {[a - b]^2}[{a^2} + ab + {b^2}] \ge 0 \cr} \]
Ta thấy rằng điều này luôn đúng.
Vậy a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a, b
Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2+ b2+ c2< 2[ab + bc + ca].
Đáp án
\[\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left[ {b + c} \right] \Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\,[1] \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < ba + bc\,\,[2] \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\,[3] \cr
& \cr} \]
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức [1], [2], [3] ta được: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left[ {ab + bc + ca} \right]\]