Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số: y = x4+ ax2+ b
a] Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \[{3 \over 2}\]khi x = 1
b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho khi \[a = {{ - 1} \over 2},b = 1\]
c] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại các điểm có tung độ bằng 1
Giải
Ta có: y = 4x3+ 2ax
a] Nếu hàm số có cực trị bằng \[{3 \over 2}\]khi x = 1 thì:
\[\left\{ \matrix{
y'[1] = 0 \hfill \cr
y[1] = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
b] Khi \[a = {{ - 1} \over 2},b = 1\]ta có hàm số: \[y = {x^4} - {1 \over 2}{x^2} + 1\]
_ Tập xác định: [-, +]
_ Sự biến thiên: y = 4x3 x = x[4x2 1]
y = 0 x = 0, \[x = \pm {1 \over 2}\]
Trên các khoảng \[[{{ - 1} \over 2},0] \cup [{1 \over 2}, + \infty ]\], y > 0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng \[[ - \infty ,{{ - 1} \over 2}] \cup [0,{1 \over 2}]\], y < 0 nên hàm số nghịch biến
_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD= 1
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm {1 \over 2},{y_{CT}} = {{15} \over {16}}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.
c] Với y = 1 ta có phương trình:
\[{x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\]
Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:
\[{M_1}[{{ - 1} \over {\sqrt 2 }},1];{M_2}[0,1];{M_3}[{1 \over {\sqrt 2 }},1]\]
Ta lấy y[0] = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M2có phương trình là y = 1
Lại có:
\[y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {1 \over {\sqrt 2 }};y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\]
\[y = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2} \Leftrightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2}\]
Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{x - 2} \over {x + m - 1}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 2
b] Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị [C] tại điểm có hoành độ a -1.
Giải
a] Khi m = 2, ta có hàm số: \[y = {{x - 2} \over {x + 1}}\]
_ Tập xác định: [-, -1] [-1, +]
_ Sự biến thiên: \[y' = {3 \over {{{[x + 1]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty , - 1] \cup [1, + \infty ]\]
nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1\]
Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = -2, cắt trục hoành tại x = 2
b] Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M có hoành độ a-1 có phương trình:
\[y = y'[a][x - a] + y[a] = {3 \over {{{[a + 1]}^2}}}[x - a] + {{a - 2} \over {a + 1}}\]
Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {2 \over {2 - x}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Tìm các giao điểm của [C] và đồ thị của hàm số y = x2+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại mỗi giao điểm.
c] Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị [C] và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Giải
a] _ Tập xác định: [-, 2] [2, +]
_ Sự biến thiên: \[y' = {2 \over {{{[2 - x]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty ,2] \cup [2, + \infty ]\]
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\]
Nên y = 0 là tiệm cận ngang.
_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [{2 \over {2 - x}}] = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [{2 \over {2 - x}}] = + \infty \]
Nên x = 2 là tiệm cận đứng.
_ Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.
b] Phương trình xác định hoành độ giao điểm:
\[{2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\]
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M1[0, 1], M2[1, 2]
Tiếp tuyến với đồ thị [C]: \[y = {2 \over {2 - x}}\]tại điểm M1có phương trình là: \[y = {1 \over 2}x + 1\]
Tiếp tuyến tại điểm M2có phương trình y = 2[x 1] + 2 = 2x
c] Trong khoảng [0, 1] đồ thị [C] nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\[V = \pi \int_0^1 {[{2 \over {2 - x}}} {]^2} = 2\pi \]
Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a] \[f[x] = 2x^3 3x^2 12x + 1\] trên đoạn \[\left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]\]
b] \[ f[x] = x^2lnx\] trên đoạn \[\left[ {1,e} \right]\]
c] \[f[x] = xe^{-x}\] trên nửa khoảng \[[0, +]\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x\] trên đoạn \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\]
Giải
a] \[f[x] = 2x^3 3x^2 12x + 1 f[x] = 6x^2 6x 12\]
\[f[x] = 0 x =-1\] hoặc \[x=2\]
So sánh các giá trị:
\[f[-2] = -3\]; \[ f[-1] = 8\];
\[f[2] = -19\], \[f[{5 \over 2}] = {{ - 33} \over 2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[ - 1] = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[2] = - 19 \cr} \]
b] \[f[x] = x^2lnx f[x]= 2xlnx + x > 0, x [1, e]\] nên \[f[x]\] đồng biến.
Do đó:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[e] = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[1] = 0 \cr} \]
c] \[f[x]= xe^{-x} f[x]=e^{-x}xe^{-x}= [1 x]e^{-x}\]nên:
\[f[x] = 0 x = 1, f[x] > 0, x [0, 1]\] và \[f[x] < 0, x [1, +]\]
nên:
\[\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[1] = {1 \over e}\]
Ngoài ra \[f[x]= xe^{-x}> 0, x [0, +]\] và \[f[0] = 0\] suy ra
\[\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[0] = 0\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x f[x]= 2cosx + 2cos2x\]
\[f[x] = 0 cos 2x = -cosx 2x = ± [π x] + k2π\]
\[x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\]
Trong khoảng \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\], phương trình \[f[x] = 0\] chỉ có hai nghiệm là \[{x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \]
So sánh bốn giá trị : \[f[0] = 0\]; \[f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2};f[\pi ] = 0;f[{{3\pi } \over 2}] = - 2\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{{3\pi } \over 2}] = - 2 \cr} \]