Bài 5 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] thoả mãn \[{u_n} < M\]với mọin. Chứng minh rằng nếu \[\lim {u_n} = a\]thì \[a \le M\]
Giải:
Xét dãy số \[\left[ {{v_n}} \right]\] với \[{v_n} = M - {u_n}\]
\[{u_n} < M\] với mọin \[\Rightarrow {v_n} > 0\]với mọin. [1]
Mặt khác, \[\lim {v_n} = \lim \left[ {M - {u_n}} \right] = M - a\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[M - a \ge 0\]hay \[a \le M\]
Bài 6 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia [H.5] người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \[{1 \over {10}}\]độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Giải:
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \[{1 \over {10}}\]độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:
- thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \[{d_1} = 63\];
- thời điểm chạm đất lần thứ hai là \[{d_2} = 63 + 2.{{63} \over {10}}\];
- thời điểm chạm đất lần thứ ba là \[{d_3} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}}\];
- thời điểm chạm đất lần thứ tư là \[{d_4} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + 2.{{63} \over {{{10}^3}}}\];
- thờiđiểm chạmđất lần thứn [n > 1]là
\[{d_n} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}}\]
[Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp].
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thờiđiểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :
\[d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ...\][mét].
Vì \[2.{{63} \over {10}},2.{{63} \over {{{10}^2}}},...,2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}},...\] là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \[q = {1 \over {10}}\]nên ta có \[2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = {{2.{{63} \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = 14\]
Vậy, \[d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = 63 + 14 = 77\][mét].
Bài 7 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số \[f\left[ x \right] = \cos {1 \over x}\]không có giới hạn khi \[x \to 0\]
Giải:
Hướng dẫn : Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là \[{a_n} = {1 \over {2n\pi }}\]và \[{b_n} = {1 \over {\left[ {2n + 1} \right]\pi }}\].Tính và so sánh \[\lim f\left[ {{a_n}} \right]\]và \[\lim f\left[ {{b_n}} \right]\]để kết luận về giới hạn của \[f\left[ x \right]\]khi \[x \to 0\]
Bài 8 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tìm các giới hạn sau:
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{x + 5} \over {{x^2} + x - 3}}\];
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {{x^2} + 8x + 3} \];
c] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3} + 2{x^2}\sqrt x - 1} \right]\];
d] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{2{x^3} - 5x - 4} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]
Giải:
a] -3 ; b] 6 ; c] + ; d] -