Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Chứng minh:
a] \[{{\left[ {x\sqrt y + y\sqrt x } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\]
với x > 0 và y > 0;
b] \[{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = x + \sqrt x + 1\] với \[x \ge 0\] và \[x \ne 1\].
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[{{\left[ {x\sqrt y + y\sqrt x } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left[ {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }}\]
\[ = {{\sqrt {xy} \left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }} = \left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]\]
\[ = {\left[ {\sqrt x } \right]^2} - {\left[ {\sqrt y } \right]^2} = x - y\]
[với x > 0 và y > 0]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b] Vì x > 0 nên\[\sqrt {{x^3}} = {\left[ {\sqrt x } \right]^3}\]
Ta có:
\[{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left[ {\sqrt x } \right]}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}} = {{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]} \over {\sqrt x - 1}}\]
\[ = x + \sqrt x + 1$với \[x \ge 0\] và \[x \ne 1\].
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
a]Chứng minh:
\[x + 2\sqrt {2x - 4} = {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]^2}\] với \[x \ge 2\];
b]Rút gọn biểu thức:
\[\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \] với \[x \ge 2\].
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[\eqalign{
& x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left[ {x - 2} \right]} \cr
& = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \cr} \]
\[ = {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + {\left[ {\sqrt {x - 2} } \right]^2}\]
\[ = {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]^2}\] [với \[x \ge 2\]]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b] Ta có:
\[\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \]
\[ = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} \]
\[ = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 - \sqrt x - 2} \right]}^2}} \]
\[ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
\[ = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
- Nếu \[\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0\] thì
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \]
Với \[2 \le x \le 4\] thì\[\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \]
Ta có: \[\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \]
- Nếu \[\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0\] thì
\[\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\]
Với x > 4 thì \[\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \]
Ta có: \[\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 = 2\sqrt {x - 2} \]
Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tìm x, biết:
a] \[\sqrt {25x} = 35\];
b] \[\sqrt {4x} \le 162\];
c] \[3\sqrt x = \sqrt {12} \];
d] \[2\sqrt x \ge 10\].
Gợi ý làm bài
\[\eqalign{
& a]\,\sqrt {25x} = 35 \Leftrightarrow 5\sqrt x = 35 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49 \cr} \]
\[\eqalign{
& b]\,\sqrt {4x} \le 162 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 162 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x \le 81 \Leftrightarrow x \le 6561 \cr} \]
Suy ra : \[0 \le x \le 6561\]
\[\eqalign{
& b]\,3\sqrt x = 12 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = {2 \over 3}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {\left[ {{2 \over 3}\sqrt 3 } \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow x = - {4 \over 3} \cr} \]
d] \[2\sqrt x \ge \sqrt {10} \Leftrightarrow \sqrt x \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\]