Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = 2x^2+ 2mx + m -1\] có đồ thị là [Cm], \[m\] là tham số
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 1\]
b] Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \[[-1, +]\]
- Có cực trị trên khoảng \[[-1, +]\]
c] Chứng minh rằng [Cm] luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \[m\].
Giải
\[y = 2x^2+ 2mx + m -1\][Cm]. Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a] \[m = 1 y = 2x^2+ 2x\]
Tập xác định \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y' = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2} \]
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[{-1\over2};+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;{-1\over2}]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x={-1\over2}\]; \[y_{CT}={-3\over 2}\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
*Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \[Ox\] tại hai điểm \[[-1;0]\] và \[[0;0]\]
b] Tổng quát \[y = 2x^2+ 2mx + m -1\] có tập xác định \[D = \mathbb R\]
\[y' = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}\]
Suy ra \[y >\] 0 với \[x > {{ - m} \over 2};y' < 0\]với \[x < {{ - m} \over 2}\], tức là hàm số nghịch biến trên \[[ - \infty ,{{ - m} \over 2}]\]và đồng biến trên \[[{{ - m} \over 2}, + \infty ]\]
i] Để hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1, +]\] thì phải có điều kiện \[[ - 1,{\rm{ }} + \infty ] \in [{{ - m} \over 2}, + \infty ]\]
\[\Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\]
ii] Hàm số đạt cực trị tại \[x = {{ - m} \over 2}\].
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \[[-1, +]\], ta phải có:
\[\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in [ - 1, + \infty ] \cr
& \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \]
c] [Cm] luôn cắt \[Ox\] tại hai điểm phân biệt \[x = {{ - m} \over 2}\]
\[\] phương trình \[2x^2+ 2mx + m 1 = 0\] có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
\[Δ = m^2 2m + 2 = [m-1]^2+ 1 > 0 m\]
Vậy [Cm] luôn cắt \[O x\] tại hai điểm phân biệt.
Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[[C]\] của hàm số
\[f[x] =- {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\]
b] Giải bất phương trình \[f[x-1]>0\]
c] Vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[[C]\]tại điểm có hoành độ \[x_0\],biết rằng \[f[x_0] = -6\]
Giải
a] Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y' = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 3 \]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-1;3]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty; -1]\] và \[[3;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=3\]; \[y_{CĐ}=29\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-3\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = + \infty\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = - \infty \]
-Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\]
Đồ thị hàm số nhận \[I[1;13]\] làm tâm đối xứng.
b] \[y=f[x] = f[x] =- {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\]
\[f[x] = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0\]. Do đó:
\[f[x-1]=-3[x-1]^2+6[x-1]+9\]
= \[-3x^2+ 12x = -3x[x-4] > 0 0 < x < 4\]
c] \[f[x] = -6x+6\]
\[f[x_0]= -6 -6x_0+ 6 = -6 x_0= 2\]
Do đó: \[f[2] = 9, f[2] = 24\]. Phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[x_0= 2\] là:
\[y=f[2][x-2] + f[2]\] hay \[y = 9x+6\].
Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số:
\[y = x^3+ 3x^2+ 1\]
b] Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m
\[{x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\]
c] Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \[[C]\]
Giải
a]\[y = x^3+ 3x^2+ 1\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
\[y= 3x^2+ 6x = 3x[x+ 2]\]
\[y=0 x = 0, x = -2\].
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;-2]\] và \[[0;+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[[-2;0]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-2\]; \[y_{CĐ}=5\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=1\].
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \]
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \[Oy\] tại \[[0;1]\]
Đồ thị hàm số nhận \[I[-1;3]\] làm tâm đối xứng.
b] Số nghiệm của phương trình \[{x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\]chính là số giao điểm của \[[C]\] và đường thẳng \[[d]\]: \[y = {m \over 2}\]
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \[{m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\]: [d] cắt [C] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \[{m \over 2} = 1 m = 2\]: [d] tiếp xúc với [C] tại 1 điểm và cắt [C] tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm
- Với \[1 < {m \over 2} < 5 2 10\]: [d] cắt [C] tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c] Điểm cực đại \[[-2, 5]\], điểm cực tiểu \[[0, 1]\].
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: \[{{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y = - 2x + 1\]
Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Cho hàm số:
\[f[x]= x^3 3mx^2+ 3[2m-1]x + 1\] [ \[m\] là tham số]
a] Xác định \[m\] để hàm số đồng biến trên một tập xác định
b] Với giá trị nào của tham số \[m\], hàm số có một cực đại và một cực tiểu
c] Xác định \[m\] để \[f[x]>6x\]
Giải
a]\[y=f[x]= x^3 3mx^2+ 3[2m-1]x + 1\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[y= 3x^2-6mx + 3[2m-1] = 3[x^2 2mx + 2m 1]\]
Hàm số đồng biến trên \[D =\mathbb R y 0, x R\]
\[ x^2 2mx + 2m - 10, x \mathbb R\]
\[ Δ = m^2 2m + 1 = [m-1]^2\le0 m =1\]
b] Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
\[\] phương trình \[y= 0\] có hai nghiệm phân biệt
\[ [m-1]^2>0 m1\]
c] \[f[x] = 6x 6m > 6x\]
\[ -6m > 0 m < 0\]