Câu 55 trang 38 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm x, biết :
a. \[{{2x + 1} \over {{x^2} - 2x + 1}} - {{2x + 3} \over {{x^2} - 1}} = 0\]
b. \[{3 \over {x - 3}} - {{6x} \over {9 - {x^2}}} + {x \over {x + 3}} = 0\]
Giải:
a. \[{{2x + 1} \over {{x^2} - 2x + 1}} - {{2x + 3} \over {{x^2} - 1}} = 0\] điểu kiện \[x \ne \pm 1\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {{2x + 1} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} - {{2x + 3} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = 0 \cr & \Rightarrow {{\left[ {2x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] - \left[ {2x + 3} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + x + 1 - 2{x^2} + 2x - 3x + 3} \over {\left[ {x + 1} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow {{2x + 4} \over {\left[ {x + 1} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = 0 \cr} \]
Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0
\[ \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3\]
x = - 3 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.
Câu 56 trang 38 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :
a. \[{x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}?\]
b. \[{1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1?\]
Giải:
a. \[{x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]\[ = {x \over {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {{x\left[ {x + 2} \right] + 3\left[ {x - 2} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
\[ = {{{x^2} + 2x + 3x - 6} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {{{x^2} - x + 6x - 6} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {{x\left[ {x - 1} \right] + 6\left[ {x - 1} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
Biểu thức bằng 0 khi \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right] = 0\] và \[\left[ {x - 2} \right]{\left[ {x + 2} \right]^2} \ne 0\]
\[\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right] = 0 \Rightarrow x = 1\] hoặc \[x = - 6\]
\[\left[ {x - 2} \right]{\left[ {x + 2} \right]^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\]và \[x \ne - 2\]
\[x = 1\] và \[x = - 6\] khác 2 và 2
Vậy với x = 1 hoặc x = - 6 thì giá trị của biểu thức bằng 0.
b. \[{1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\]\[ = {{1 + \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]} \over {{x^2} + x + 1}} = {{1 + {x^3} - 1} \over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} \over {{x^2} + x + 1}}\]
Biểu thức bằng 0 khi \[{x^3} = 0\] và \[{x^2} + x + 1 \ne 0.\]
\[{x^3} = 0 \Rightarrow x = 0,{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {3 \over 4} = {\left[ {x + {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \ne 0\]mọi x
Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 57 trang 38 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :
a. \[{2 \over {x - 3}}\]
b. \[{3 \over {x + 2}}\]
c. \[{{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\]
d. \[{{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\]
Giải:
a. \[{2 \over {x - 3}}\] là một số nguyên nên \[2 \vdots \left[ {x - 3} \right]\] và \[x \ne 3\]
x 3 Ư[2] = { - 2; -1 ; 1; 2 }
\[\eqalign{& x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1 \cr & x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 2 \cr & x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \cr & x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \]
Vậy với x { 1; 2; 4; 5 } thì \[{2 \over {x - 3}}\]là một số nguyên
b. \[{3 \over {x + 2}}\] là một số nguyên nên 3 [x + 2] và x - 2
x + 2 Ư[3] = { -3; -1; 1; 3 }
\[\eqalign{ & x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - 5 \cr & x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 3 \cr & x + 2 = 1 \Rightarrow x = - 1 \cr & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \]
Vậy với x { -5; -3; -1; 1 } thì \[{3 \over {x + 2}}\] là một số nguyên
c. \[{{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\]\[ = {{\left[ {3{x^2} + 8x + 33} \right]\left[ {x - 4} \right] + 131} \over {x - 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x - 4}}\]
Với x là số nguyên ta có : \[3{x^2} + 8x + 33\] là số nguyên
Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 [x 4 ] và x 4
x 4 Ư[131] = {-131; -1; 1; 131}
\[\eqalign{ & x - 4 = - 131 \Rightarrow x = - 127 \cr & x - 4 = - 1 \Rightarrow x = 3 \cr & x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \cr & x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \]
Vậy x {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}$ là số nguyên
d. \[{{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\]\[ = {{\left[ {3x + 2} \right]\left[ {x - 1} \right] + 3} \over {3x + 2}} = x - 1 + {3 \over {3x + 2}}\] [với \[x \ne - {3 \over 2}\] ]
x là số nguyên ta có x 1 là số nguyên.
Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 [3x + 2] và \[x \ne - {3 \over 2}\]
3x + 2 Ư[3] = {-3; -1; 1; 3 }
\[3x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - {5 \over 3} \notin \] [loại]
\[3x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 1\]
\[3x + 2 = 1 \Rightarrow x = - {1 \over 3} \notin \] [loại]
\[3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \] [loại]
x = - 1 khác \[ - {3 \over 2}\]
Vậy với x = - 1 thì biểu thức \[{{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\] có giá trị nguyên.