Câu 57 trang 165 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p,bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức:
S = p.r
Giải:
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Nối OA, OB, OC.
Khoảng cách từ tâm O đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác OAB, OAC, OBC.
Ta có: \[{S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} + {S_{OBC}}\]
\[= {1 \over 2}.AB.r + {1 \over 2}.AC.r + {1 \over 2}.BC.r\]
\[= {1 \over 2}[AB + AC + BC].r\]
Mà AB + AC + BC = 2p
Nên \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}.2p.r = p.r\]
Loigiaihay.com
Câu 58 trang 165 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn [O] nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E.
a] Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?
b] Tính bán kính của đường tròn [O] biết AB = 3cm, AC = 4cm
Giải:
a] Ta có: \[OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \]
\[OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \]
\[\widehat {BAC} = 90^\circ \] [gt]
Tứ giác ADOE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: AD = AE [tính chất hai tiếp tuyến giao nhau]
Vậy tứ giác ADOE là hình vuông.
b] Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\]
Suy ra: BC = 5 [cm]
Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau ta có:
AD = AE
BD = BF
CE = CF
Mà: AD = AB BD
AE = AC CF
Suy ra: AD + AE = AB BD + [AC CF ]
= AB + AC [BD + CF ]
= AB + AC [BF + CF ]
= AB + AC BC
Suy ra: \[ AD = AE = {{AB + AC - BC} \over 2} = {{3 + 4 - 5} \over 2} = 1 [cm]\]
Câu 59 trang 165 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AB + AC = 2[R + r].
Giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
Ta có: BC = 2R
Giả sử đường tròn tâm [O] tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F.
Theo kết quả câu a] bài 58, ta có ADOE là hình vuông.
Suy ra: AD = AE = EO = OD = r
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD = AE
BD = BF
CE = CF
Ta có: 2R + 2r = BF + FC + AD + AE
= [BD + AD] + [AE +CE]
= AB + AC
Vậy AB = AC = 2 [R + r].
Câu 60 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC, đường tròn [K] bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
a] \[AE = AF = {{a + b + c} \over 2}\]
b] \[BE = {{a + b - c} \over 2};\]
c] \[CF = {{a + c - b} \over 2}\]
Giải:
a] Gọi D là tiếp điểm của đường tròn [K] với cạnh BC.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BE = BD; CD = CF
AE = AB + BE
AF = AC + CF
Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF
= AB + AC + [BD + DC]
= AB + AC + BC = c + b + a
Mà AE = AF [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Suy ra: \[{\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\]
b] Ta có: \[BE = AE AB = {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\]
c] Ta có: \[CF = AF AC = {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\]