Bài 1 trang 97 sgk toán 11
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a] \[u_n= 5 - 2n\]; b] \[u_n= \frac{n}{2}- 1\];
c] \[u_n= 3^n\] ; d] \[u_n= \frac{7-3n}{2}\]
Bài 2 trang 97 sgk toán 11
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a]\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\],
b] \[ \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\].
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức \[u_n= u_1+ [n 1]d\].
a] Từ hệ thức đã cho ta có:
\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.\]hay\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.\]
.Giải hệ ta được:\[u_1= 16, d = -3\].
b] Từ hệ đã cho ta có:
\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ [u_{1}+d][u_{1}+6d]=75 \end{matrix}\right.\]hay\[ \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ [u_{1}+d][u_{1}+6d]=75 \end{matrix}\right.\]
Giải hệ ta được:\[u_1= 3\] và \[d = 2\] hoặc \[u_1= -17\] và \[d = 2\]
Bài 3 trang 97 sgk toán 11
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \[u_1,n, d, u_n, S_n\].
a] Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b] Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Hướng dẫn giải:
a] Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \[u_1,n, d, u_n, S_n\]thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b] Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.
b1] Biết \[u_1= -2, u_n= 55, n = 20\]. Tìm \[d, S_n\]
Áp dụng công thức \[d = {{{u_n} - {u_1}} \over {n - 1}},{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]
Đáp số: \[d = 3, S_{20}= 530\].
b2] Biết \[d = -4, n = 15\], \[S_n= 120\]. Tìm \[u_1,u_n\]
Áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\] và \[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]
ta có:
\[\left\{ \matrix{
{u_1} - {u_{15}} = 56 \hfill \cr
{u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ trên, ta được \[u_1= 36, u_{15}= - 20\].
b3] Áp dụng công thức\[u_n= u_1+ [n - 1]d\], từ đây ta tìm được \[n\]; tiếp theo áp dụng công thức\[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]. Đáp số: \[n = 28\], \[S_n= 140\].
b4] Áp dụng công thức\[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\], từ đây tìm được \[u_1\], tiếp theo áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\] để tìm \[d\]. Đáp số: \[u_1= -5, d= 2\].
b5] Áp dụng công thức \[{S_n} = {{\left[ {2{u_1} + [n - 1]d} \right].n} \over 2}\],từ đây tìm được \[n\], tiếp theo áp dụng công thức\[u_n= u_1+ [n - 1]d\]. Đáp số: \[n = 10, u_n= -43\].
Bài 4 trang 98 sgk toán 11
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \[0,5 m\]. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng \[2\] gồm \[21\] bậc, mỗi bậc cao \[18 cm\].
a] Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b] Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Hướng dẫn giải:
a] Gọi chiều cao của bậc thứ \[n\] so với mặt sân là \[h_n\]
Ta có: \[ h_n= 0,5 + n.0,18[m]\].
b] Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
\[h_{21}=0,5 + 21.0,18 = 4,28 [m]\].
Bài 5 trang 98 sgk toán 11
Từ \[0\] giờ đến \[12\] giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Hướng dẫn giải:
Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: \[S = 1 + 2 + 3 +....+ 12\]. Đây là tổng của \[12\] số hạng của cấp số cộng có \[u_1= 1, u_{12}= 12\]. Do đó áp dụng công thức tính tổng,
ta có \[S = \frac{[1+12].12}{2} = 78\].
Vậy đồng hồ đánh \[78\] tiếng chuông.