Bài 57 Trang 192 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \[x - {y^2} = 0\]và các đường thẳng \[y = 2,x = 0\]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A.
a] Quanh trục hoành; b] quanh trục tung
Giải
a] Hoành độ giao điểm của đường cong \[y=\sqrt x\] và \[y=2\] là:
\[\sqrt x=2\Rightarrow x=4\]
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \[Ox\] là:
\[V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {{2^2} - x} \right]} dx = \left. {\pi \left[ {4x - {{{x^2}} \over 2}} \right]} \right|_0^4 = 8\pi \]
b] Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \[Oy\] là:
\[V = \pi \int\limits_0^2 {{y^4}dy} = \left. {{\pi \over 5}{y^5}} \right|_0^2 = {{32\pi } \over 5}\]
Bài 58 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \[y = {x^{{1 \over 2}}}{e^{{x \over 2}}}\]và các đường thẳng \[x = 1,x = 2,y = 0.\]Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.
Giải
Thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_1^2 {x.{e^x}} dx\]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
Do đó
\[V = \pi \left[ {\left. {x{e^x}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {{e^x}dx} } \right] = \pi \left[ {2{e^2} - e - {e^2} + e} \right] \]
\[= \pi {e^2}\]
Bài 59 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \[{y^2} = {x^3}\]và các đường thẳng \[y = 0,x = 1.\]Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A
a] Quanh trục hoành; b] Quanh trục tung.
Giải
a] Ta có \[y = \sqrt {{x^3}} \,\,\left[ {y \ge 0} \right]\]
Thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}dx = \left. {{{\pi {x^4}} \over 4}} \right|} _0^1 = {\pi \over 4}\]
b] Ta có \[x = \root 3 \of {{y^2}} \]
Thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{1^2}-\root 3 \of {{y^4}} } \right]} dy = \left. {\pi \left[ {y - {3 \over 7}{y^{{7 \over 3}}}} \right]} \right|_0^1 = {{4\pi } \over 7}.\]