Câu 53 trang 144 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ \[{\rm{OD}} \bot AC\], kẻ \[{\rm{O}}E \bot AB\]. Chứng minh rằng OD = OE.
Giải
Kẻ \[OH \bot BC\]
Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có:
\[\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \]
Cạnh huyền OB chung
\[\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\][gt]
Suy ra: OEB = OHB [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \]OE = OH [hai cạnh tương ứng] [1]
Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có:
\[\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \]
Cạnh huyền OC chung
\[\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\left[ {gt} \right]\]
Suy ra: OHC = ODC [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \]OH = OD [hai cạnh tương ứng] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: OE = OD.
Câu 54 trang 144 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a] Chứng minh rằng BE = CD.
b] Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng BOD = COE
Giải
a] Xét BEA và CDA, ta có:
BA = CA [gt]
\[\widehat A\]chung
AE = AD [gt]
Suy ra: BEA = CDA [c.g.c]
Vậy BE = CD [hai cạnh tương ứng]
b] BEA = CDA [chứng minh trên]
\[\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\][hai góc tương ứng]
\[\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {{E_2}} = \widehat {{D_2}}\]
AB = AC [gt]
\[ \Rightarrow \]AE + EC = AD + DB mà AE = AD [gt] => EC = DB
Xét ODB và OCE, ta có:
\[\widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}\][chứng minh trên]
DB = EC [chứng minh trên]
\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\][chứng minh trên]
Suy ra: ODB = OEC [g.c.g]
Câu 55 trang 145 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = \widehat C\]. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng DB = DC, AB = AC.
Giải
Trong ADB, ta có:
\[\widehat B + \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác]
Suy ra: \[\widehat {{D_1}} = 180^\circ - \left[ {\widehat B + \widehat {{A_1}}} \right]\] [1]
Trong ADC, ta có:
\[\widehat C + \widehat {{D_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác]
Suy ra: \[\widehat {{D_2}} = 180^\circ - \left[ {\widehat C + \widehat {{A_2}}} \right]\] [2]
\[\widehat B = \widehat C\left[ {gt} \right]\]
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left[ {gt} \right]\]
\[\widehat B = \widehat C\left[ {gt} \right]\]
Từ [1], [2] và [gt] suy ra: \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\]
Xét ADB và ADC, ta có:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]
AD cạnh chung
\[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\] [chứng minh trên]
Suy ra: ADB = ADC[g.c.g]
Vậy: AB = AC [2 cạnh tương ứng]
DB = DC [2 cạnh tương ứng]
Câu 56 trang 145 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho hình dưới, chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD, BC
Giải
Hai đường thẳng AB và CD tạo với BD có hai góc trong cùng phía bù nhau
\[120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \]
Suy ra AB // CD
Ta có: \[\widehat A = \widehat {{D_1}}\] [hai góc trong so le]
\[\widehat {{B_1}} = \widehat C\][hai góc trong so le]
AB = CD [gt]
Suy ra: AOB = DOC [g.c.g]
Suy ra: OA = OD; OB = OC [hai cạnh tương ứng]
Vậy O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD và BC.