Câu 58 trang 39 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Thực hiện các phép tính :
a. \[\left[ {{9 \over {{x^3} - 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right]:\left[ {{{x - 3} \over {{x^2} + 3x}} - {x \over {3x + 9}}} \right]\]
b. \[\left[ {{2 \over {x - 2}} - {2 \over {x + 2}}} \right].{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\]
c. \[\left[ {{{3x} \over {1 - 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right]:{{6{x^2} + 10x} \over {1 - 6x + 9{x^2}}}\]
d. \[\left[ {{x \over {{x^2} - 25}} - {{x - 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right]:{{2x - 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 - x}}\]
e. \[\left[ {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right]\]
Giải:
a. \[\left[ {{9 \over {{x^3} - 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right]:\left[ {{{x - 3} \over {{x^2} + 3x}} - {x \over {3x + 9}}} \right]\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{9 \over {x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} + {1 \over {x + 3}}} \right]:\left[ {{{x - 3} \over {x\left[ {x + 3} \right]}} - {x \over {3\left[ {x + 3} \right]}}} \right] \cr & = {{9 + x\left[ {x - 3} \right]} \over {x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}:{{3\left[ {x - 3} \right] - {x^2}} \over {3x\left[ {x + 3} \right]}} = {{{x^2} - 3x + 9} \over {x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}.{{3x\left[ {x + 3} \right]} \over {3x - 9 - {x^2}}} \cr & = {{3\left[ {{x^2} - 3x + 9} \right]} \over {\left[ {3 - x} \right]\left[ {{x^2} - 3x + 9} \right]}} = {3 \over {3 - x}} \cr} \]
b. \[\left[ {{2 \over {x - 2}} - {2 \over {x + 2}}} \right].{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\]\[ = {{2\left[ {x + 2} \right] - 2\left[ {x - 2} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}.{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over 8}\]
\[ = {{2x + 4 - 2x + 4} \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}.{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over 8} = {8 \over {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}.{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over 8} = {{x + 2} \over {x - 2}}\]
c. \[\left[ {{{3x} \over {1 - 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right]:{{6{x^2} + 10x} \over {1 - 6x + 9{x^2}}}\]\[ = {{3x\left[ {3x + 1} \right] + 2x\left[ {1 - 3x} \right]} \over {\left[ {1 - 3x} \right]\left[ {1 + 3x} \right]}}:{{2x\left[ {3x + 5} \right]} \over {{{\left[ {1 - 3x} \right]}^2}}}\]
\[\eqalign{ & = {{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}} \over {\left[ {1 - 3x} \right]\left[ {1 + 3x} \right]}}.{{{{\left[ {1 - 3x} \right]}^2}} \over {2x\left[ {3x + 5} \right]}} = {{x\left[ {3x + 5} \right]} \over {\left[ {1 - 3x} \right]\left[ {1 + 3x} \right]}}.{{{{\left[ {1 - 3x} \right]}^2}} \over {2x\left[ {3x + 5} \right]}} \cr & = {{1 - 3x} \over {2\left[ {1 + 3x} \right]}} \cr} \]
d. \[\left[ {{x \over {{x^2} - 25}} - {{x - 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right]:{{2x - 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 - x}}\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 5} \right]}} - {{x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}}} \right]:{{2x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}} + {x \over {5 - x}} \cr & = {{{x^2} - {{\left[ {x - 5} \right]}^2}} \over {x\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 5} \right]}}.{{x\left[ {x + 5} \right]} \over {2x - 5}} + {x \over {5 - x}} \cr & = {{{x^2} - {x^2} + 10x - 25} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {2x - 5} \right]}} + {x \over {5 - x}} = {{5\left[ {2x - 5} \right]} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {2x - 5} \right]}} - {x \over {x - 5}} \cr & = {5 \over {x - 5}} - {x \over {x - 5}} = {{5 - x} \over {x - 5}} = {{ - \left[ {x - 5} \right]} \over {x - 5}} = - 1 \cr} \]
e. \[\left[ {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right]\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} + xy} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x - y} \right]}}} \right] \cr & = {{{x^2} + xy + y\left[ {x + y} \right]} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]}}:{{{x^2} + {y^2} - 2xy} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x - y} \right]}} \cr & = {{{x^2} + xy + xy + {y^2}} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]}}.{{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x - y} \right]} \over {{{\left[ {x - y} \right]}^2}}} \cr & = {{{{\left[ {x + y} \right]}^2}} \over {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x + y} \right]}}.{{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\left[ {x - y} \right]} \over {{{\left[ {x - y} \right]}^2}}} = {{x + y} \over {x - y}} \cr} \]
Câu 59 trang 40 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh đẳng thức :
a. \[\left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right]\left[ {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right] = {{x + 1} \over {2x}}\]
b. \[\left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left[ {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right]} \right]:{{x - 1} \over x} = {{2x} \over {x - 1}}\]
c. \[\left[ {{2 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}}.\left[ {{1 \over x} + 1} \right] + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left[ {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right]} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}} = {x \over {x - 1}}\]
Giải:
a. Biến đổi vế trái :
\[\left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right]\left[ {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right]\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left[ {{x^2} + 4} \right]}} - {{2{x^2}} \over {4\left[ {2 - x} \right] + {x^2}\left[ {2 - x} \right]}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left[ {{x^2} + 4} \right]}} - {{2{x^2}} \over {\left[ {2 - x} \right]\left[ {4 + {x^2}} \right]}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{\left[ {{x^2} - 2x} \right]\left[ {2 - x} \right] - 4{x^2}} \over {2\left[ {2 - x} \right]\left[ {{x^2} + 4} \right]}}.{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{2{x^2} - {x^3} - 4x + 2{x^2} - 4{x^2}} \over {2\left[ {2 - x} \right]\left[ {{x^2} + 4} \right]}}.{{{x^2} - 2x + x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{ - x\left[ {{x^2} + 4} \right]} \over {2\left[ {2 - x} \right]\left[ {{x^2} + 4} \right]}}.{{x\left[ {x - 2} \right] + \left[ {x - 2} \right]} \over {{x^2}}} \cr & = {{x\left[ {{x^2} + 4} \right]} \over {2\left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 4} \right]}}.{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {{x^2}}} = {{x + 1} \over {2x}} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế trái:
\[\eqalign{ & \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left[ {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right]} \right]:{{x - 1} \over x} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{x + 1 - 3x\left[ {x + 1} \right]} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {1 - 3x} \right]} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {{2\left[ {1 - 3x} \right]} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} = {{2 - 2 + 6x} \over {3x}}.{x \over {x - 1}} = 2.{x \over {x - 1}} = {{2x} \over {x - 1}} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế trái :
\[\eqalign{ & \left[ {{2 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}}.\left[ {{1 \over x} + 1} \right] + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left[ {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right]} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}} \cr & = \left[ {{2 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}}.{{x + 1} \over x} + {1 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}.{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} + {{{x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}} = {{2x + {x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}} \cr & = {{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \over {{x^2}{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}} = {x \over {x - 1}} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 60 trang 40 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức :
a. \[{{{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}}}\]
b. \[{{{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\]
Giải:
a. \[{{{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}}}\]\[ = \left[ {{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \right]:\left[ {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}} \right]\]
\[ = {{{x^2} - \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {x\left[ {x - 1} \right]}}:{{{x^2} - \left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {x\left[ {x + 1} \right]}} = {1 \over {x\left[ {x - 1} \right]}}.{{x\left[ {x + 1} \right]} \over 1} = {{x + 1} \over {x - 1}}\]
b. \[{{{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\]\[ = \left[ {{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \right]:\left[ {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \right] = {{5\left[ {x + 1} \right] - 20} \over {4\left[ {x + 1} \right]}}:{{\left[ {3 + x} \right]\left[ {3 - x} \right]} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]
\[ = {{5\left[ {x - 3} \right]} \over {4\left[ {x + 1} \right]}}.{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \over {\left[ {3 + x} \right]\left[ {3 - x} \right]}} = {{ - 5\left[ {3 - x} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {4\left[ {3 + x} \right]\left[ {3 - x} \right]}} = {{ - 5\left[ {x + 1} \right]} \over {4\left[ {3 + x} \right]}}\]