Câu 6 trang 120 SGK Hình học 11
Nhắc lại định nghĩa:
a] góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
b] góc giữa hai mặt phẳng
Trả lời:
a] góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Cho đường thẳng \[d\] cắt mặt phẳng \[[α]\] tại điểm \[O\] và không vuông góc với \[[α]\]. Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[α]\] là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu vuông góc \[d\] của \[d\] trên mp \[[α]\].
b] Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: giả sử hai mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\] cắt nhau theo giao tuyến \[c\]. Từ điểm \[I\] bất kì trên \[c\], trong mặt phẳng \[[α]\] ta dựng đường thẳng \[a\] vuông góc với \[c\] và trong mặt phẳng \[[β]\] ta dựng đường thẳng \[b\] vuông góc với \[c\]. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\].
Chú ý: góc giữa hai mặt phẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng \[90^0\].
Câu 7 trang 120 SGK Hình học 11
Muốn chứng minh mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với mặt phẳng \[[β]\] người ta thường làm như thế nào?
Trả lời:
Muốn chứng minh mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với mặt phẳng \[[β]\], ta có thể:
_ Chứng minh \[[α]\] chứa một đường thẳng vuông góc với \[[β]\] hoặc \[[β]\] chứa một đường thẳng vuông góc với \[[α]\]
\[\left\{ \matrix{
d \subset [\alpha ] \hfill \cr
d \bot [\beta ] \hfill \cr} \right. \Rightarrow [\alpha ] \bot [\beta ]\]
_ Hoặc chứng minh góc giữa \[[α]\] và \[[β]\] bằng \[90^0\].
Câu 8 trang 120 SGK Hình học 11
Hãy nêu cách tính khoảng cách:
a] Từ một điểm đến một đường thẳng
b] Từ đường thẳng \[a\] đến mặt phẳng \[[α]\] song song với \[a\]
c] giữa hai mặt phẳng song song.
Trả lời:
a]
Để tính khoảng cách từ điểm \[O\] đến đường thẳng \[Δ\] không đi qua \[O\], ta xác định mặt phẳng \[[O,Δ]\] và trong mặt phẳng này kẻ \[OH Δ\]. Độ dài \[OH\] chính là khoảng cách từ \[O\] đến \[Δ\].
b]
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] và mp \[[P]\] song song với \[a\], ta lấy một điểm \[M\] bất kì thuộc đường thẳng \[a\]. Khoảng cách \[MH\] từ điểm \[M\] đến mp \[[P]\] chính là khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] với mp \[[P]\] song song với \[a\].
c]
Để tìm khoảng cách giữa hai mp \[[P]\] và \[[P]\] song song với nhau, ta lấy một điểm \[M\] thuộc \[[P]\] và tìm khoảng cách \[MH\] từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[[P]\]
Câu 9 trang 120 SGK Hình học 11
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách nào?
Trả lời:
_ Dựng mặt phẳng \[[P]\] qua \[a\] và song song với \[b\]
_ Tìm khoảng cách từ một điểm \[M\] thuộc \[b\] đến mặt phẳng \[[P]\].
Câu 10 trang 120 SGK Hình học 11
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác \[ABC\] là đường vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Trả lời:
Lấy một điểm \[M\] bất kì trong không gian sao cho \[MA = MB = MC\]. Từ \[M\] kẻ \[MO\] vuông góc với \[[ABC]\]. Các tam giác vuông \[MOA\], \[MOB\], \[MOC\] bằng nhau, suy ra \[OA = OB = OC\].
Do đó \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Vậy các điểm \[M\] cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] nằm trên đường thẳng \[d\] đi qua tâm \[O\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Ngược lại, lấy một điểm \[M d\], nối \[MA, MB, MC\],
Do \[MO\] chung và \[OA = OB = OC\] nên các tam giác vuông \[MOA, MOB, MOC\] bằng nhau, suy ra \[MA = MB = MC\],
Tức là điểm \[M\] cách đều ba đỉnh \[A, B, C\] của tam giác \[ABC\].
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].