Bài 69 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình sau:
\[\eqalign{
& a]\,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \cr
& c]\,{\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}243 = 0 \cr} \] \[b]\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\]
Giải
a] Điều kiện: \[x> 0\]
\[\eqalign{
& \,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0\cr& \Leftrightarrow {\left[ {3\log x} \right]^2} - 10\log x + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\log x = 1 \hfill \cr
\log x = {1 \over 9} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = {10^{{1 \over {9}}}} = \root 9 \of {10} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {10;\root 9 \of {10} } \right\}\]
b] \[\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Điều kiện: \[x > 0\], \[x \ne {1 \over 2},\,x \ne {1 \over 8}\]
Ta có: \[{\log _4}2x = {{{{\log }_2}2x} \over {{{\log }_2}4}} = {{1 + {{\log }_2}x} \over 2}\]
\[\eqalign{
& {\log _8}4x = {{{{\log }_2}4x} \over {{{\log }_2}8}} = {{2 + {{\log }_2}x} \over 3} \cr
& {\log _{16}}8x = {{{{\log }_2}8x} \over {{{\log }_2}16}} = {{3 + {{\log }_2}x} \over 4} \cr} \]
Đặt \[t = {\log _2}x\] thì [1] thành: \[{{2t} \over {1 + t}} = {{4\left[ {2 + t} \right]} \over {3\left[ {3 + t} \right]}} \Leftrightarrow 6t\left[ {3 + t} \right] = 4\left[ {1 + t} \right]\left[ {2 + t} \right]\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 8 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 4}} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}\]
c] Điều kiện: \[x > 0\]; \[x \ne {1 \over 9},\,x \ne {1 \over 3}\]
Ta có: \[{\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0 \]
\[\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{27}}9x}} - {1 \over {{{\log }_3}3x}} + {\log _{{3^2}}}{3^5} = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{{3^3}}}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_3}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over {2 + {{\log }_3}x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr} \]
Đặt \[{\log _3}x = t\]
Ta có phương trình: \[{3 \over {t + 2}} - {1 \over {t + 1}} + {5 \over 2} = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 6\left[ {t + 1} \right] - 2\left[ {t + 2} \right] + 5\left[ {t + 2} \right]\left[ {t + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 0,8 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _3}x = - 0,8 \hfill \cr
{\log _3}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {3^{ - 0,8}} \hfill \cr
x = {3^{ - 3}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {{3^{ - 3}};{3^{ - 0,8}}} \right\}\]
Bài 70 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình sau:
\[\eqalign{
& a]\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \cr
& b]\,{3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \cr} \]
\[\eqalign{
& c]\,{3^x}{.8^{{x \over {x + 1}}}} = 36 \cr
& d]\,{x^6}{.5^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}} \cr} \]
Giải
\[\eqalign{
& a]\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 = {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {{{4^x}} \over {{3^x}}} = {\log _3}4 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left[ {{4 \over 3}} \right]^x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _{{4 \over 3}}}\left[ {{{\log }_3}4} \right] \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {{{\log }_{{4 \over 3}}}\left[ {{{\log }_3}4} \right]} \right\}\]
b] Điều kiện: \[x > 0\]
\[\eqalign{
& {3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow {{{3^2}} \over {{3^{{{\log }_3}x}}}} = 81x \cr
& \Leftrightarrow {9 \over x} = 81x \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\,\,\left[ {\text{ vì }\,x > 0} \right] \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\]
c] Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:
\[x{\log _3}3 + {x \over {x + 1}}{\log _3}8 = x + {{3x} \over {x + 1}}{\log _3}2 = 2 + 2.{\log _3}2\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} + x + 3\left[ {{{\log }_3}2} \right]x = 2x + 2 \cr&\;\;\;+ 2[x+1]\left[ {{{\log }_3}2} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {{{\log }_3}2 - 1} \right]x - 2.{\log _3}2 -2= 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = - 1 - {\log _3}2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2; - 1 - {{\log }_3}2} \right\}\]
d] Điều kiện: \[x > 0\];
Lấy logarit cơ số x hai vế ta được:
\[\eqalign{
& 6 + \left[ { - {{\log }_x}5} \right].{\log _x}5 = - 5{\log _x}5 \cr
& \Leftrightarrow \log _x^25 - 5{\log _x}5 - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _x}5 = - 1 \hfill \cr
{\log _x}5 = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5 = {x^{ - 1}} \hfill \cr
5 = {x^6} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = \root 6 \of 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {{1 \over 5};\root 6 \of 5 } \right\}\]
Bài 71 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình sau:
\[a]\,{2^x} = 3 - x\] \[b]\,{\log _2}x = 3 - x\]
Giải
a] \[x = 1\] là nghiệm phương trình
Với \[x < 1\] ta có \[{2^x} < 2 < 3 - x\] nên phương trình không có nghiệm \[x < 1\]
Tương tự với \[x > 1\] ta có \[{2^x} > 2 > 3 - x\] nên phương trình không có nghiệm \[x > 1\].
Vậy \[S = \left\{ 1 \right\}\]
b] Điệu kiện: \[x > 0\].
Rõ ràng \[x = 2\] là nghiệm phương trình
Với \[x > 2\] thì \[{\log _2}x > 1 > 3 - x\] nên phương trình không có nghiệm \[x \in \left[ {2; + \infty } \right]\]
Với \[x